与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析Word文档格式.docx

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析Word文档格式.docx

《与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析Word文档格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

的取值围是（）

A

B

C

D

解：

将线段

沿

方向平移，使得

则有四边形

为平行四边形,∵在

中,

，即

解得

故选A

第三类：

过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知：

如左下图3，四边形

为平行四边形

求证：

证明：

过

分别作

于点

的延长线于点F

则

∥

且

第四类：

延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：

已知：

如右上图4，在正方形

中，

分别是

、

的中点，

与

交于

点，求证：

证明：

延长

交

的延长线于点

为正方形

又∵

≌

则

第五类：

延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5，在平行四边形

为边

上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

的延长线相交于

，则有

∽

第六类：

把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线

例6已知：

如右上图6，在平行四边形

于

，求

连结

综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：

连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

梯形的辅助线

口诀：

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

常见的几种辅助线的作法如下：

作法

图形

平移腰，转化为三角形、平行四边形。

平移对角线。

转化为三角形、平行四边形。

延长两腰，转化为三角形。

作高，转化为直角三角形和矩形。

中位线与腰中点连线。

（一）、平移

1、平移一腰：

例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°

，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.

过点D作DE∥BC交AB于点E.

又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.

所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

在Rt△DAE中，由勾股定理，得

AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.

所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.

即CD＝8.

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值围。

过点B作BM//AD交CD于点M，

在△BCM中，BM=AD=4，

CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，

所以BC的取值围是：

5－4<

BC<

5＋4，即1<

9。

2、平移两腰：

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°

，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

所以

3、平移对角线：

例4、已知：

梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．

∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形

∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4

∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5

∴∠BDE=90°

．

作DH⊥BC于H，则

例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=

，求证：

AC⊥BD。

过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，

易得四边形BCED是平行四边形，

则DE=BC，CE=BD=

所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=

所以在△ACE中，

从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，

则四边形ACED是平行四边形，

即

。

由勾股定理得

（cm）

，即梯形ABCD的面积是150cm2。

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°

，∠C=80°

，AD=2，BC=5，求CD的长。

延长BA、CD交于点E。

在△BCE中，∠B=50°

所以∠E=50°

，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

四边形ABCD是等腰梯形.

延长AD、BC相交于点E，如图所示.

∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，

∴△DAB≌△CBA.

∴∠DAB＝∠CBA.

∴EA＝EB.

又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°

∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.

又AD不平行于BC，

∴四边形ABCD是等腰梯形.

（三）、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：

AD=DE。

连结BD，

由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；

由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°

，BD=BD，

所以Rt△BAD≌Rt△BED，

得AD=DE。

（四）、作梯形的高

1、作一条高

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°

，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：

四边形ABFE是等腰梯形。

证：

过点D作DG⊥AB于点G，

则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°

，AD=3cm，BC=5cm，

求：

（1）腰AB的长；

（2）梯形ABCD的面积．

作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm

∵AB=DC

∵在Rt△ABE中，∠B=60°

，BE=1cm

∴AB=2BE=2cm，

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>

CD，求证：

BD>

AC。

作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

因为AB>

CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>

CF。

即BF>

CE。

在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>

AC

（五）、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°

AB＋CD=AD。

取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=

（AB＋CD）①

在△AOD中，∠AOD=90°

，AE=DE

②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：

（1）EF//AD；

（2）

连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG

则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线

从而EF//BG，且

因为AD//BG，

所以EF//AD，EF

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分别延长AE与BC，并交于F点

∵∠BAD=900且AD∥BC

∴∠FBA=1800－∠BAD=900

又∵AD∥BC

∴∠DAE=∠F（两直线平行错角相等）

∠AED=∠FEC（对顶角相等）

DE=EC（E点是CD的中点）

∴△ADE≌△FCE（AAS）

∴AE=FE

在△ABF中∠FBA=900且AE=FE

∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴在△FEB中∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE

例16、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：

线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

AE=BE，理由如下：

延长AE，与BC延长线交于点F．

∵DE=CE，∠AED=∠CEF，

∠DAE=∠F

∴△ADE≌△FCE

∴AE=EF

∵AB⊥BC，∴BE=AE．

例17、已知：

梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．

如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．

∵DE=EC，AD∥BC

∴△DEM≌△E

四边形ABNM是平行四边形

∵EF⊥AB，

∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×

EF=15cm2．

【模拟试题】

（答题时间：

40分钟）

1.若