微分几何22曲面的第一基本形式Word文档格式.docx

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u=u（t）,v=v（t）,或r=r\u（0（0]=r（0

fdudv

r（0=—取dr=rtldu+rvdv

若s表示弧长有ds1=dr2={rudu+rvdvY

=ru-rudu2+2%・rvdudv+rv-rvdv2

I=Edu2+2Fdudv+Gclv2

2、曲线（C）上两点4（%）（切间的弧长为：

ds,厂】Ifdu^\dudv（dv^\1

s=—dt=JE一+2F+G\一dt

儿dt儿V\dt）dtdt\dt）

3、用显函数样z=Z（xfy）表示的曲面的第一基本形式

r={x,y,z{x,y）}

dzdz

q=

dxdy

E=rx•片=l+p）F=&

•片=pq.G=ry•人=l+q2I=（1+p2）dx2+2pqdxdy+（1+q2）dy2

4、第一基本形式是正定的。

事实上，E=r^ru=r^>

^G=r^>

^EG-F2=ry^-{rirrvy>

^也可从1=直接得到。

例题1:

求球面的第一基本形式

I=ds2=du1+（/+a2）dv2

2、2曲面上两方向的交角

1、把两个向量dr=rudu+rvdv和3r=ru8u+rv6v间的交角称为方向（du:

dv）和（况：

况）间的角。

2、设两方向的夹角为0,则

COS0=

dr・dr（rudu+rvdv）{ruda+rvdv）|凋|昂yldr2J务2

Eclu8u+F{dudv+Sudv）+Gdvdv

^Edu2+2Fdudv+Gdv2^Edu2+2F8udv+G3v2

3、特别

（1）（d）丄（》）<

=>

Edudu+F{dudv+6udv）+Gdvdv=0

⑵对于坐标曲线的交角，有

dr-3r

dr5r

F

4eg

故坐标曲线正交的充要条件为F=0o

设有两曲Adu+Bdv=0,C{u,v）3u+D{u.v}dv=0

如果它们正交，贝IIEdudu+F{dudv+dudv）+Gdvdv=0或£

+尸（型+色）+6色色=0du6adu3u

acAC

即^-F（-+-）+G--=O

若另给出一簇曲线Adu+Bdv=O9

则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程

是£

+F（--+—）+G（--）—=0

BduBdu

dvBE-AFduBF-AG

2、4曲面域的面积

G—F2dudv

D

cr=jjjcr=Jj\ruxrv\ludv=jjVE

DD

其中D为相对应的^,v平面上的区域,

（兀"

）2=尸卍—（兀•兀）2=EG—戸＞0

定义：

仅由第一基本形式出发所建立的几何性质（量）称为曲面的内在性质（量）或内蕴性质（量）。

如曲面上曲线的弧长,曲面上两方向的交角，曲面域的面积。

1）曲面S到S］的变换

给定两曲面：

s：

r=r（w,v）S1：

斤=斤（岡,岭）

如果其对应点的参数之间存在对应关系：

ux-,Vi=

其中坷（仏卩）,儿（仏V）连续，有连续的偏导数，且

0（%1，儿）

这种一一对应关系称为曲面S到S］的变换。

由于S1:

斤=rx（Wj,Vi）=A］（Wj（w,v）,Vj（w,v））=rx（w,v）

这样两个曲面在对应点就有相同的参数。

并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。

2）等距变换：

曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。

2、6保角变换（共形变换）

1）定义：

两曲面之间的一个变换，如果保持曲面上曲线的交

角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）

2）定理：

两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们

的第一基本形式成比例。

证明：

设取相同的参数时两个第一基本形式为1,1］。

必要性：

设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正

交条件Edudu+F{dudv+3udv）+Gdvdv=0

得E^dudu+F、{dudv+6udv）+Gxdvdv=0

消去矶况得Edu+Fdv_Fdu+Gdv

Exdu+FxdvFxclu+Gxdv

FGEF

由du.dv的任意性，在也/=0时有_=_,加=0时有—

因此A=£

=£

耳片G、

充分性由于第一基本形式成比例，得

E=22E1,F=22^,G=22G1

代入交角公式知对应曲线的交角相等。

特别：

等距变换是它的特例。