参数方程极坐标附答案Word文档格式.docx
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（2）｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
（3）线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜
（4）若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
（1）圆圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是
（是参数）
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］（见图）
（2）椭圆椭圆=1（a＞b＞0）的参数方程是
（为参数）
椭圆=1（a＞b＞0）的参数方程是
3.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.
①极点；
②极轴；
③长度单位；
④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对（ρ,θ）叫做M点的极坐标.（见图）
极坐标和直角坐标的互化
（1）互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
（2）互化公式
三、知识点、能力点提示
（一）曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解：
将圆的方程化为参数方程：
（θ为参数）
则圆上点P坐标为（2+5cosθ，1+5sinθ），它到所给直线的距离为d==｜4cosθ+3sinθ+6｜=5·
｜（cosθ+sinθ）+｜=5｜cos（φ-θ）+｜，其中cosφ=，sinφ=.故当cos（φ-θ）=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为（6，4）；
当cos（φ-θ）=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为（-2，2）.
（二）极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f（θ）,C2∶ρ=-f（π＋θ）必定是（）
A.关于直线θ=对称B.关于极点对称
C.关于极轴对称D.同一曲线
因（ρ，θ）与（-ρ，π+θ）表示相同的点，
故选D.
（三）综合例题赏析
例3椭圆（Φ是参数）的两个焦点坐标是（）
A.（-3，5），（-3，-3）B.（3，3），（3，-5）
C.（1，1），（-7，1）D.（7，-1），（-1，-1）
化为普通方程得=1
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F（x-3,y+1）=F（0,±
4）
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是（3，3）和（3，-5）.
应选B.
例4参数方程
（0＜θ＜2π）表示（）
A.双曲线的一支，这支过点（1，）
B.抛物线的一部分，这部分过（1，）
C.双曲线的一支，这支过（-1，）
D.抛物线的一部分，这部分过（-1，）
由参数式得x2=1+sinθ=2y（x＞0）
即y=x2（x＞0）.
∴应选B.
例5曲线的参数方程为（0≤t≤5）则曲线是（）
A.线段B.双曲线的一支
C.圆弧D.射线
解消去t2得，x-2=3（y-1）是直线
又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段
应选A.
例6下列参数方程（t为参数）与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（）
A.B.
C.D.
普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y==ctg2t==，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为（）
A.x2+（y+2）2=4B.x2+（y-2）2=4
C.（x-2）2+y2=4D.（x+2）2+y2=4
将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得
x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4.
例8极坐标ρ=cos（-θ）表示的曲线是（）
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
原极坐标方程化为ρ=（cosθ+sinθ）；
ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为（x2+y2）=x+y，表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是（）
A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4
如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，l交极轴于B（2，0）点P（ρ,θ）为l上任意一点，则有
cosθ=，得ρcosθ=2，
例10极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是（）
A.两条射线B.两条相交直线
C.圆D.抛物线
由4sin2θ=3,得4·
＝3,即y2=3x2，y=±
x,它表示两相交直线.
【同步达纲练习】
（一）选择题
1.点P的直角坐标为（1，-），则点P的极坐标为（）
A.（2，）B.（2，）C.（2，-）D.（-2，-）
2.直线：
3x-4y-9=0与圆：
，（θ为参数）的位置关系是（）
A.相切B.相离
C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心
3.若（x，y）与（ρ，θ）（ρ∈R）分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：
①θ=和sinθ=；
②θ=和tgθ=，③ρ2-9=0和ρ=3；
④和.
其中表示相同曲线的组数为（）
A.1B.2
C.3D.4
4.设M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2）两点的极坐标同时满足下列关系：
ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是（）
A.重合B.关于极点对称
C.关于直线θ=D.关于极轴对称
5.实数x,y，θ满足x+yi=（cosθ+isinθ）（3cosθ+isinθ）,当θ
变化时，点（x,y）的轨迹是（）
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
6.经过点M（1，5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是（）
A.B.
7.将参数方程（m是参数，ab≠0）化为普通方程是（）
A.=1（x≠a）B.=1（x≠-a）
C.=1（x≠a）D.=1（x≠-a）
8.把极坐标方程ρ=2sin（+θ）化为直角坐标方程为（）
A.（x-）2+（y-）2=1B.y2=2（x-）
C.（x-）（y-）=0D.＝1
9.参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）
A.一条射线B.两条射线
C.一条直线D.两条直线
10.双曲线（θ为参数）的渐近线方程为（）
A.y-1=±
（x+2）B.y=±
x
C.y-1=±
2（x+2）D.y+1=±
2（x-2）
11.直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，则直线的倾斜角为（）
A.或B.或C.或D.-或-
12.已知曲线（t为参数）上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为（）
A.2p（t1+t2）B.2p（t21+t22）
C.│2p（t1-t2）│D.2p（t1-t2）2
13.若点P（x，y）在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M（-2xy，y2-x2）也在单位圆上运动，其运动规律是（）
A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向
14.已知过曲线（θ为参数，且0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）
A.（3，4）B.（，2）
C.（-3，-4）D.（，）
15.直线ρ=与直线l关于直线θ=（ρ∈R）对称，则l的方程是（）
A.ρ=B.ρ=
C.ρ=D.ρ=
（二）填空题
16.双曲线的中心坐标是.
17.参数方程（θ为参数）化成普通方程为.
18.极坐标方程ρcos（θ-）=1的直角坐标方程是.
19.抛物线y2=2px（p＞0）的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则=.
（三）解答题
20.设椭圆（θ为参数）上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求点P的坐标.
21.曲线C的方程为（p＞0，t为参数），当t∈［-1，2］时，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
22.已知过点P（1，-2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m
（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点?
（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线（θ为参数）的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
24.A，B为椭圆=1，（a＞b＞0）上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.
25.坐标平面上有动点P（cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t）,Q（cost-sint,cost+sint）,t∈［0,π］,当t变化时：
（1）求P，Q两动点的轨迹；
（2）当｜PQ｜＝时，求t的值.
参考答案
（一）1.C2.D3.C4.C5.D6.A7.A8.A9.B10.C11.A12.C13.C14.D15.D
（二）16.（2，-1）；
17.y2=-2（x-）,（x≤）;
18.x+y-z=0；
19.
（三）20.（，）；
21.；
22.
（1）m＞,
（2）m=3；
23.（27-3）；
24.Smax=，smin=;
25.
（1）P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4（y≥0），
（2）t=或t=.
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