全等三角形问题中常见的辅助线的作法Word格式.docx

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遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：

最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，

（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

例1.已知：

如图3所示，AD为△ABC的中线，

求证：

AB+AC>

2AD。

分析：

要证AB+AC>

2AD，由图形想到：

AB+BD>

AD,AC+CD>

AD，所以有：

AB+AC+BD+CD>

AD+AD=2AD，

但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。

应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0<

<

90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;

AB＝AD+BC。

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;

AB-AC＞PB-PC

三、平移变换

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°

，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°

，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由。

五、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；

1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．

当绕点旋转到时（如图1），易证．

当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，线段，又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

2、（西城09年一模）已知:

PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图,当∠APB=45°

时,求AB及PD的长;

（2）当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1图2图3

（）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；

此时；

（）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=，则Q=（用、L表示）．

参考答案与提示

解：

延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

AB-BE<

2AD<

AB+BE故AD的取值范围是1<

AD<

4

（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG<

BG+BE

故：

EF<

BE+FC

延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°

即：

AB＝AD+BC

（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而;

3、如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

从而∠BDP＝40°

＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）

故AD＝AC

又∠QBC＝40°

＝∠QCB故BQ＝QC

BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF

由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC<

CF＝AF－AC＝AB－AC

（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE

AD为△ABC的角平分线,MN⊥AD

知∠FA