百校联盟届普通高中教育教学质量监测考试全国二卷理科数学试题含答案解析Word文件下载.docx
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A．函数的图象关于原点对称B．函数在上单调递增
C．函数在上无零点D．函数的图象关于直线对称
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，记双曲线过一、三象限的渐近线的倾斜角为，若点在过原点且倾斜角为的直线上，且，，则双曲线的离心率为（）
10．已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（）
11．已知函数，则（）
A．当时，B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减D．函数的对称中心为
12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）
二、填空题
13．已知平面向量，，若，则__________．
14．已知抛物线的焦点为，若抛物线与圆交于，两点，且，则的面积为（为坐标原点）__________．
15．已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥的体积为__________．
16．已知首项为的数列的前项和为，若，且数列，，…，成各项均不相等的等差数列，则的最大值为__________．
三、解答题
17．已知中，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，，求的值．
18．已知某品牌的蛋糕店在地区有两家连锁分店，每个分店配有名员工，且每个分店中至少有人上班时，该分店可以正常营业；
若某一家分店的员工全部休息，另一家分店的员工全部上班，则必须对员工进行调岗，将人调至员工全部休息的分店，使得两店都正常营业；
若人手不够，则挂出“今日休息”的牌样．
（1）已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为，求元旦这天不发生调岗的概率；
（2）已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为，记挂出“今日休息”的牌样的店数为，求的分布列和数学期望．
19．如图所示，已知三棱柱，，，，四边形为菱形，，，分别是，的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：
．
21．已知椭圆的离心率为，，为椭圆上两个动点，，当，分别为椭圆的左，右顶点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的垂直平分线的方程为，且，求实数的取值范围．
22．已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点的极坐标为．
（1）求直线以及曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．
23．已知函数．
（1）在网格纸中作出函数的图象；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
由已知集合A、B，应用集合的交补运算，求即可.
【详解】
依题意，，而，故．
故选：
B
2．D
直接利用复数的乘法运算求解.
因为，
D
3．D
根据煤炭进口月度走势图判断.
由图象可知，7月份2610吨,8月份2066吨,9月份1868吨,10月份1373吨,11月份1176吨，故①正确；
2020年12月煤炭进口量比11月份增加量为万吨，故②正确；
2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值为万吨，超过万吨，故③正确．
4．C
应用特殊值法以及指数函数的单调性判断A、B、D的正误，进而可得正确选项.
A中，令，，可知，；
B中，令，，可知；
C中，，即知；
D中，由指数函数单调性可知，；
所以ABD均错误．
C.
5．C
设等差数列的公差为，根据，利用“”求解.
设等差数列的公差为，
所以，
故，
所以使得成立的最小正整数的值为．
C
6．D
基本事件总数为，名同学所报节目各不相同的基本事件个数为，由此求出每个同学报的节目都不相同的概率.
由乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，故有（种）报名方法，
名同学所报节目各不相同，有（种）报名方法，
所以每个同学报的节目都不相同的概率：
【点睛】
关键点点睛：
本题考查概率的求法，考查古典概型，排列组合等基础知识，理解乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，需先让甲选完，其他3个同学每人有种情况是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于一般题.
7．B
先求出圆的圆心和半径，由于直线将圆的面积平分，所以可得直线过圆心，从而可求出的值，再利用勾股定理求出的值
依题意，圆，圆心，代入中，解得，故，则．
8．C
先对函数化简，得，由函数，均为奇函数，所以可判断函数的对称性，进而可判别断A，D，对于B，取特殊值即可判断；
对于C，由，可得，，从而可判断
依题意，，易知，均为奇函数，图象关于原点对称，故函数的图象关于对称，故A、D错误；
易知，故B错误；
当时，，，即，即函数在上无零点．
9．B
由题意，延长交直线于点，可知为的中点，而由，且，从而可得，进而可求出点的坐标，再把点的坐标代入双曲线方程中化简可求得离心率
由题意，延长交直线于点，则由角平分线的性质可得为的中点，，易得，则，
因为，所以点在双曲线上，
将点的坐标代入双曲线中，则，解得．
10．A
顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，求其面积，可得答案.
分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点，
连接,
因为,
所以,四边形是平行四边形，即四点共面，
设中点为,易得,故，所以五点共面，
则平面即为平面，如图，
在中，,可得,
所以，，，
在等腰三角形中，，，所以高为，
故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，．
A
分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点作出并证明平面即为平面是解题的关键，属于中档题.
11．C
化简函数为，再作出其图象，利用数形结合法求解.
依题意，
作出函数的大致图象如图所示；
由图象知：
当时，，故A错误；
函数的最小正周期为，故B错误；
函数在上单调递减，故C正确；
函数的对称中心为，故D错误．
方法点睛：
1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin（ωx＋φ）（ω>
0）的形式．
2．函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.
3．对于函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质求解．
12．D
不等式可化为，构造函数，然后利用导数求函数的最小值，使最小值大于零，可求出实数的取值范围
依题意，，设，，易知在上单调递增，．
①当时，，，所以单调递增，则，即．
②当时，，可知存在，使得，单调递减，，所以存在，，故不成立．
综上所述，．
13．
由向量垂直的坐标表示，可求解，计算的坐标，利用模长公式，即得解
依题意，，则，解得，则．
故答案为：
14．
设点在第一象限，则，代入圆方程可得其坐标，从而可得，得焦点坐标，则面积可求解．
不妨设点在第一象限，因为抛物线与圆交于，两点，且，
则，代入中，解得，故，代入抛物线中，解得，故．
15．
由题意知，是外接球的直径，设为的外接圆圆心，即面，进而求，由到平面的距离即可求体积.
由与均为面积是的等边三角形，易知；
设为的外接圆圆心，则面，则，
由题意，是球的直径，则，又，所以，
在中，，
∴点到平面的距离，故．
.
16．
由已知结合得，设前项等差数列的公差为，分析得，分析得，两式结合可得，求出，验证符合题意，验证不符合题意，利用反证法证得不符合题意，即可得解.
且，（*）；
因为前项成各项均不相等的等差数列，设公差为，则，，
若，则，，在（*）式中，令得，，
即，化简得①；
若，则，在（*）式中，令得，，
即，化简得②；
②①得，，，，
将代入①得，，所以，则，所以符合题意．
若，则，，，，，，，，在（*）式中，令得，，，所以，所以不符合题意．
假设时符合题意，则，
整理得，即
即，又时，
所以与等差数列矛盾，所以不符合题意．
本题考查等差数列的知识，解题的关键是利用将已知条件转换为，再分别分析，，时是否符合题意，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.
17．
（1）；
（2）2.
（1）首先利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；
（2）由
（1）可知，，即可求出，，再利用余弦定理及面积公式计算可得；
解：
（1），解得，
故．
（2）由
（1）可知，①，且②；
联立①②，解得，．
又，，可得．
，则．即．
18．
（1）；
（2）分布列见解析，.
（1）记发生调岗为事件，先求出发生调岗的概率，再求不发生调岗的概率即可；
（2）的所有可能取值为，，，分别求解概率，列出分布列求出数学期望即可.
（1）记发生调岗为事件，
则，
故元旦这天不发生调岗的概率为；
（2）依题意，的所有可能取值为，，．
，
所以的分布列为：
所以．
19．
（1）证明见解析；
（2）.
（1）取线段的中点，连接，，可得四边形是平行四边形，由可得答案；
（2）作于点，得平面，平面，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴和轴，以过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量再求与的夹角可得答案。
（1）取线段的中点，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
又平面，平面，所以平面；
（2）作于点，因为，所以，
所以，即为的中点；
因为，，，所以平面，
所以；
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