随机过程2-6线性系统中的平稳过程知识讲稿PPT格式课件下载.pptx

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,定义设系统L,如果,那么称L是线性系统。

定义2如果系统L的输入、输出的关系不随时间推移而变化，即对任一时间平移，有,而对任意常数,有,第2章平稳过程,第1页,例1验证微分算子解,例2验证积分算子解,是定常的线性系统。

微分算子显然具有线性.,是定常的线性系统。

积分算子显然具有线性.,第2章平稳过程,第1页,由于微分系统（如例1）是定常的线性系统，因此在工程技术中很多定常的线性系统，其输入和输出的关系可用常系数线性微分方程描述,这里假定nm。

顺便指出：

不难用定义检验，由（6.1）式给出的系统是定常的线性系统。

我们用拉普拉斯变换法求解方程（6l）。

（6.1）,第2章平稳过程第1页,第2章平稳过程第1页,第2章平稳过程,第1页,（6.1）,在方程（6.1）两边取双边拉普拉斯变换，可得（6.2）其中,第2章平稳过程,第1页,完全由系统的动态特性所确定称为线性系统的传递函数。

作的反拉普拉斯变换，记,（6.2）,由（6.2）式解出Y（p），,其中,（6.3）,（6.4）,即,（6.5）,第2章平稳过程,第1页,；

显然亦能描绘系统的动态特性，称h（t）为线性系统的脉冲响应函数。

当系统输入一个单位脉冲函数即，那么有用（6.3）式得,于是得到系统的响应即是系统对单位脉冲函数输入的响应.对（6.3）式两边作反拉普拉斯变换得,（6.6）此式表明由（6.1）式给出的定常线性系统的输出y（t），是输入x（t）和单位脉冲响应函数h（t）的卷积.,（6.3）,第2章平稳过程,第1页,下面对系统介绍两个名词。

在工程中要求系统在时刻t以前的输入完全能确定t时刻的响应，而时刻t以后的输入对t时刻的响应不起作用。

由（6.6）式可见，这相当于要求脉冲响应函数有满足此条件的系统称为物理可实现的系统。

一个定常线性系统可用下图表示。

h（t）H（p）,x（t）X（p）,y（t）Y（p）,第2章平稳过程,第1页,（6.6）式变成,（6.7）,或另外，要求系统是稳定的，即对每一个有界的输入（函数）必定产生有界的输出（函数）。

由（6.7）式可见，如果物理可实现的定常线性系统的脉冲响应函数满足则系统是稳定的.,（6.6）,第2章平稳过程,第1页,以后皆假定系统是物理可实现的和稳定的。

对于物理可实现的和稳定的系统，在（6.5）式中取,得,（6.8）即是h（t）的傅里叶变换。

同样可描述系统的动态特性。

我们称为系统的频率响应函数。

由（6.8）式，显然有脉冲响应函数h（t），传递函数H（p）和频率响应函数都可以描述系统的动态特性。

第2章平稳过程,第1页,记,上式可改写为,例1设R-C电路系统如图6-12所示，图中x（t）与y（t）分别表示系统的输入和输出电压，试求系统的传递函数，脉冲响应函数和频率响应函数。

解：

由电学知识可知，输出电压y（t）满足线性微分方程,第2章平稳过程,第1页,解出,所以传递函数而脉冲响应函数又频率响应函数,在方程的两边取拉普拉斯变换得,第2章平稳过程,第1页,常见的拉普拉斯变换,第2章平稳过程,第1页,下面表中对各种常见的电路系统列出脉冲响应函数和频率响应函数。

第2章平稳过程,第1页,二、线性系统输出的数学期望，自相关函数和自谱密度现假定线性系统的输入是一个平稳过程的情形。

由（6.7）式，系统的输出随机过程为（6.9）问题：

输出Y（t）是不是平稳过程？

定理1设定常线性系统L的脉冲响应函数为,若系统的输入,是一个平稳过程，它的数，则系统的输出是一,学期望为个平稳过程,，而相关函数为，且,第2章平稳过程,第1页,和,（6.11）,证：

先计算Y（t）的数学期望,又相关函数,（6.10）,第2章平稳过程,第1页,显然，数学期望和相关函数都与t无关、所以Y（t）是一个平稳过程。

证毕。

在（6.11）式中取,可得输出过程的均方值（平均功率）,（6.11）,第2章平稳过程,第1页,定理2在定理1中的系统条件下，若输入平稳过程的谱密度为，则输出过程Y（t）的谱密度为（6.12）其中是系统的频率响应函数。

证利用（6.11）式，的谱密度,（6.13）,第2章平稳过程,第1页,（6.12）,其中,作变换,代入（6.13）式得,证毕,第2章平稳过程,第1页,（6.12）工程中称为系统的功率增益因子.（6.l2）式表明:

系统输出的功率谱密度等于输入的功率谱密度乘上系统的功率增益因子。

由（6.12）式，可得输出过程Y（t）的自相关函数。

第2章平稳过程,第1页,而输出的平均功率,注意：

在利用（6.12）式计算输出过程的自相关函数时，应当先由输入过程的自相关函数取傅里叶变换得到谱密度，进而用（6.12）式得的谱密度，最后再取傅里叶反变换获得输出过程的自相关函数。

（6.12）,第2章平稳过程,第1页,解：

根据例1，此系统的脉冲响应函数为而频率响应函数为由（6.10）式得至于输出过程的自相关函数有两种计算方法。

一种是用（6.11）式计算，此时有,例2对例1中的定常线性系统，输入一个平稳过程,，,，而相关函数，试求输出过程,的数学期望和自,它的数学期望而相关函数。

第2章平稳过程,第1页,当时，把上式中的二重积分写成图2-13中两个区域I和II上积分之和，然后把每一个二重积分再化成累次积分。

计算,第2章平稳过程,第1页,利用自相关函数是偶函数的性质，有,第2章平稳过程,第1页,另一种方法是用（6.12）式计算。

先算输入过程谱密度,又由（6.12）分解为部分分式,第2章平稳过程,第1页,上面两种计算的Y（t）自相关函数的方法，前者称时间域法，后者称频率域法，而后一种计算较为方便，工程中常采用此法。

即取反傅里叶变换得,第2章平稳过程,第1页,三、输入和输出的互相关函数、互谱密度在上面已经见到：

对一个定常线性系统输入一个平稳过程X（t），那么输出Y（t）亦是平稳过程。

现在问输入过程X（t）与输出过程Y（t）是否是平稳相关的呢？

对此有下述定理。

定理3在定理1中的系统条件下，若输入是一个平稳过程，则输入过程X（t）和输出过程Y（t）是平稳相关的，且互相关函数和互谱密度分别是（6.15）和（6.16）,第2章平稳过程,第1页,（6.15）和（6.16）前式表明X（t）与Y（t）的互相关函数等于输入X（t）的相关函数和脉冲响应函数的卷积；

而后式表明X（t）互谱密度等于的自谱密度和频率响应函数的乘积。

证：

X（t）和Y（t）的互相关函数,第2章平稳过程,第1页,因而有,证毕,而故,此式表明互相关函数与t无关，所以X（t）与Y（t）是平稳相关的。

再计算互谱密度，利用傅里叶变换关于卷积的性质，得,第2章平稳过程,第1页,和互谱密度,例3在例2中求互相关函数解先算互谱密度,再算互相关函数。

当,第2章平稳过程,第1页,例4对定常线性系统输入一个白噪声，即或（常数），试求输入与输出的互相关函数和互谱密度。

解由（6.15）式，互相关函数,当,第2章平稳过程,第1页,此例结果可用以对线性系统进行辩识。

由（6.17）式，当有如果将一个白噪声输入系统，能够计算得到互相关函数，那么由上式能够获得系统的脉冲响应函数，即完全地确定系统的动态特性。

由（6.16）式，互谱密度,（6.18）,（6.17）,第2章平稳过程,第1页,一、线性系统线性系统、定常的或时不变、物理可实现的系统、系统是稳定的线性系统的传递函数脉冲响应函数,频率响应函数,线性系统中的平稳过程,内容总结,第2章平稳过程,第1页,有,密度，进而用（6.12）式得的谱密度最后再取傅里叶反变换得输出过程的自相关函数,，。

（6.11）（6.12）注意：

由（6.12）式计算输出过程的自相关函数，应当先由输入过程的自相关函数取傅里叶变换得到谱,（6.10）,二、线性系统输出的数学期望，自相关函数和自谱密度（6.9）,第2章平稳过程,第1页,三、输入和输出的互相关函数、互谱密度定理3在定理1中的系统条件下，若输入是一个平稳过程，则输入过程X（t）和输出过程Y（t）是平稳相关的，且互相关函数和互谱密度分别是（6.15）和（6.16）前式表明X（t）与Y（t）的互相关函数等于输入X（t）的相关函数和脉冲响应函数的卷积；

第2章平稳过程,第1页,第二章平稳过程小结,基本概念,平稳过程、均值函数、自相关函数、各态历经性、谱密度、线性系统。

学习重点,计算平稳过程的均值函数、自相关函数；

自相关函数的性质；

谱密度、相关函数的计算（查表法）；

线性系统动态特性的确定确定输出过程的均值函数、自相关函数、和谱密度。