湖南省临澧县太浮镇九年级数学下册第1章二次函数152二次函数的应用同步检测新版湘教版Word下载.docx
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5.如图,二次函y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为直线x=,且经过点(2,0),下列说法:
①abc<0;
②a+b=0;
③4a+2b+c<0;
④若(﹣2,y1),(,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2,其中说法正确的是( )
A①②④B③④C①③④D①②
二、填空题
6.如图2-110所示的是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象,则a的值是.
7.已知抛物线y=4x2-11x-3,则它的对称轴是,与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是.
8.抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且线段AB的长为1,△ABC的面积为l,则b的值是.
9.某种商品每件进价为20元,调查表明:
在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
10.如图,一段抛物线y=﹣x(x﹣1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O、A1,顶点为P1;
将m1绕点A1旋转180°
得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;
将m2绕点A2旋转180°
得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为( ).
三、解答题
11.用12米长的木料做成如图2-111所示的矩形窗框(包括中间的十字形),当长、宽各为多少时,矩形窗框的面积最大?
最大面积是多少?
12.如图2-112所示,△ABC的面积为2400cm2,底边BC的长为80cm,若点D在BC上,点E在AC上,点F在AB上,且四边形BDEF为平行四边形,设BD=xcm,SBDEF=ycm2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,y最大?
最大值是多少?
13.如图2-113所示,在ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°
,E为BC上一动点(不与B重合),作EF⊥AB于F,延长FE与DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求证△BEF∽△CEG;
(2)用x表示S的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)当E运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?
14.如图2-114所示,在边长为8cm的正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个点,它们分别从点A、点C同时出发,沿对角线以1cm/s的相同速度运动,过E作EH垂直AC,交Rt△ADC的直角边于H;
过F作FG垂直AC,交Rt△ADC的直角边于G,连接HG,EB.设HE,EF,FG,GH围成的图形面积为S1,AE,EB,BA围成的图形面积为S2(这里规定:
线段的面积为0).若E到达C,F到达A,则停止运动.若E的运动时间为xs,解答下列问题.
(1)当0<x<8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S1=S2;
(2)①若y是S1与S2的和,求y与x之间的函数关系式;
(图2-115为备用图)②求y的最大值.
15.(2014•湖北潜江仙桃,第25题12分)已知抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2),C(,0)三点,一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,连接BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当BQ=AP时,求t的值;
(3)随着点P的运动,抛物线上是否存在一点M,使△MPQ为等边三角形?
若存在,请直接写t的值及相应点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
参考答案
1D
2.C
3.D
4.A
5.A
6.1[提示:
抛物线开口向上,故a>0.因为图象过原点,所以a2-1=0,所以a=±
1,所以a=1.]
7.x=(3,0),(-,0)(0,-3)
8.-3
9.25
10(10.5,﹣0.25)
11.解:
设窗框的长为x米,则窗框的宽为米,矩形窗框的面积y=x()=-x2+4x.配方得y=-(x-2)2+4.∵a=-l<0,∴函数y=-(x-2)2+4有最大值.当x=2时,y最大值=4平方米,此时=4-2=2(米),即当长、宽各为2米时,矩形窗框的面积最大,最大值为4平方米.
12.解:
(1)设A到BC的距离为dcm,E到BC的距离为hcm,则y=SBDEF=xh.∵S△ABC=BC·
d,∴2400=×
80d,∴d=60.∵ED∥AB,∴△EDC∽△ABC,∴,即,∴h=,∴y=x=-x2+60x.
(2)自变量x的取值范围是0<x<80.(3)∵a=-<0,-=40,0<40<80,∴当x=40时,y最大值=1200.
13.
(1)证明:
∵AB∥CD,∴∠B=∠ECG.又∠BEF=∠CEG,∴△BEF∽△CEG.
(2)解:
由
(1)得,∠G=∠BFE=90°
,∴DG为△DEF中EF边上的高.在Rt△BFE中,∠B=60°
,EF=BEsinB=x.在Rt△CGE中,CE=3-x,CG=(3-x)cos60°
=,∴DG=DC+CG=,∴S=EF·
DG=-x2+x,其中0<x≤3.
(3)解:
∵a=-<0,对称轴x=,∴当0<x≤3时,S随x的增大而增大,∴当x=3,即E与C重合时,S有最大值,S最大值=3.
14.解:
(1)以E,F,G,H为顶点的四边形是矩形.∵正方形ABCD的边长为8,∴AC=16.∵AE=x,过点B作BO⊥AC于O,如图2-116所示,则BO=8,∴S2=4x.∵HE=x,EF=16-2x,∴S1=x(16-2x).当S1=S2,即x(16-2x)=4x时,解得x1=0(舍去),x2=6.∴当x=6时,S1=S2.
(2)①当0≤x<8时,如图2-116所示.y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x.当8≤x≤16时,如图2-117所示,AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,∴S1=(16-x)(2x-16),∴y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.
(2)解法1:
②当0≤x<8时,y=-2x2+20x=-2(x2-10x+25)+50=-2(x-5)2+50,∴当x=5时,y的最大值为50.当8≤x≤16时,y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,∴当x=13时,y的最大值为82.综上可得,y的最大值为82.解法2:
②y=-2x2+20x(0≤x<8),当x=-=5时,y最大值==50.y=-2x2+52x-256(8≤x≤16),当x=-=13时,y最大值==82.综上可得,y的最大值为82.
15.解:
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2),C(,0)三点,
∴,
解得,
∴y=﹣x2﹣x+2.
(2)∵AQ⊥PB,BO⊥AP,
∴∠AOQ=∠BOP=90°
,∠PAQ=∠PBO,
∵AO=BO=2,
∴△AOQ≌△BOP,
∴OQ=OP=t.
①如图1,当t≤2时,点Q在点B下方,此时BQ=2﹣t,AP=2+t.
∵BQ=AP,
∴2﹣t=(2+t),
∴t=.
②如图2,当t>2时,点Q在点B上方,此时BQ=t﹣2,AP=2+t.
∴t﹣2=(2+t),
∴t=6.
综上所述,t=或6时,BQ=AP.
(3)当t=﹣1时,抛物线上存在点M(1,1);
当t=3+3时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3).
分析如下:
∵AQ⊥BP,
∴∠QAO+∠BPO=90°
,
∵∠QAO+∠AQO=90°
∴∠AQO=∠BPO.
在△AOQ和△BOP中,
∴OP=OQ,
∴△OPQ为等腰直角三角形,
∵△MPQ为等边三角形,则M点必在PQ的垂直平分线上,
∵直线y=x垂直平分PQ,
∴M在y=x上,设M(x,y),
解得或,
∴M点可能为(1,1)或(﹣3,﹣3).
①如图3,当M的坐标为(1,1)时,作MD⊥x轴于D,
则有PD=|1﹣t|,MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2,PQ2=2t2,
∵△MPQ为等边三角形,
∴MP=PQ,
∴t2+2t﹣2=0,
∴t=﹣1+,t=﹣1﹣(负值舍去).
②如图4,当M的坐标为(﹣3,﹣3)时,作ME⊥x轴于E,
则有PE=3+t,ME=3,
∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2,
∴t2﹣6t﹣18=0,
∴t=3+3,t=3﹣3(负值舍去).
综上所述,当t=﹣1+时,抛物线上存在点M(1,1),或当t=3+3时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3),使得△MPQ为等边三角形.