简单数学建模100例Word格式.docx

简单数学建模100例Word格式.docx

《简单数学建模100例Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简单数学建模100例Word格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

【1】一副扑克牌有54张，从中任取

多少张，可以保证一定有5张牌的花色

是一样的？

分析除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.运气最好的情况下所取

的5张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？

假设假定至少要取张，才能保证一定有5张牌的花色是一样的.

模型逆向地思维

解析在运气最不好的情况下，每种花色各4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。

所以张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的.

检验在很多情况下采用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.

练习题公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次？

【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。

猫的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。

但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。

请问：

按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？

如果能，它要跑多少步才能追到。

假设此题两问可归结为一个问题：

假定猫跑步就能追上老鼠

模型猫与老鼠之间频率的最小公倍数

解析由频率关系可知，老鼠跑步时，猫跑了步.

根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程

可得本题的数学模型为

解得（步）

检验由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.

练习题

现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣.最后小黄共得到56元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几个？

【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？

分析此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.

假设

（1）每条线路都有往返双向线

（2）设4条路分别为A,B,C,D；

（3）以A为起始，

①如允许原路调头，则有

②如不允许原路调头，则有

模型分步乘法计数原理

解析第一步：

始线路条数；

第二步：

终线路条数。

①如允许原路调头：

则（种可能）

②如不允许原路调头，则（种可能）

检验如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况；

如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况。

铁路京广线（北京—广州）共有36个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票？

【4】杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下，数字号码为浙A的汽车牌照共有多少块？

分析由条件知，问题为三个中各可以填入多少种数字或字母

假设假定按要求的汽车牌照共有种可能，且在第个中共有种字符可以填写.

根据汽车牌照的特点，在每个中可以填入1~0共10个阿

拉伯数字和A,B,C,D……，26个英语字母，即

模型分步乘法计数原理.

解析因为各中填入的字符数符合

故=46656

检验数字号码为浙A的汽车牌照共有46656块。

不难发现，无论B和5在何位置，所得结论不变.

出租车在开始10千米以内收费10.4元，以后每走1千米，收费1.6元，问走20千米需收多少钱?

第二关：

初识数学建模

把20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

假设先取9个苹果，平均每人3个，剩下的11个再按不同情况讨论.

模型排列数公式

解析可以有：

15种不同种类，对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序，用排列数公式即可求解.

①对（11,0,0），（9,1,1），（7,2,2），（5,5,1），（5,3,3）五类，各类可以有3种次序排法，故共有15种分发法.

②对其余的10类，各类可以有6（）种次序排法，故共有60种分发法

检验所以按要求可以有75种不同的分法.

水果店进了十筐苹果，每筐10个，共100个，每筐里的苹果重量都一样，

其中有九筐每个苹果的重量都是1斤，另一筐中每个苹果的重量都是0.9斤，

但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。

现在要你用一台普通的大秤

一次把这筐重量轻的找出来。

你可以办到么？

【6】有243颗外形一模一样的珠子，其中有一颗稍重一点。

用一架没有砝码的天平，至少称几次才能找出这颗珠子来?

分析与假设①将243颗珠子平均分成3份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；

若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.

②在找出含有稍重珠子的一份中（含81颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；

③在找出含有稍重珠子的一份中（含27颗），再将其27颗珠子平均分成3份，每份3颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；

④在找出含有稍重珠子的一份中（含1颗），再将其3颗珠子平均分成3份，每份1颗，任取其2颗放置在天平两边，若平衡则另1颗稍重的一颗；

若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的1颗.

模型“三分法”

解析按“分析与假设”所述可知，至少称4次才能找出这颗珠子来.

检验此题的关键是珠子的颗数243，可以平均分成3份，每份81颗，而81又可以平均分成3份，每份27颗，而27又可以平均分成3份，每份3颗，而3可以平均分成3份，每份1颗，最后找出异样的珠子.

小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可急坏了小敏。

你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗？

【7】水果店进了十筐苹果，每筐

10个，共100个，每筐里的苹果重

量都一样，其中有九筐每个苹果的

重量都是1斤，另一筐中每个苹果

的重量都是0.9斤，但是外表完全

一样，用眼看或用手摸无法分辨。

现在要你用一台普通的大秤一次把

这筐重量轻的找出来。

分析与假设普通的大秤上是有刻度，可以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号

并取与标号对应的苹果数——1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共计55个，再用所给的大枰称得这55个苹果的总重量

若此55个苹果重量均为1斤（理想状态），则总重量应为55斤，由题目条件知其中某一框苹果重量均为0.9斤，假定为第框时，那么所取苹果数为个，大枰称得总重量就要比55斤少两.

模型等差数列的求和

解析利用框数与所取苹果数的对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果的总重量之间的差

按“分析与假设”所述可解得.若大枰称得总重量为54斤3两，比55斤差7两，即得框号为的这框苹果重量为0.9斤.

某单位某月1～12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天.要求三个人各自值班日期数字之和相等。

已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？

【8】甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水。

如果允许将部分食物存放于途中，其中1人最远可深入沙漠多少千米？

（要求最后两人返回出发点）

分析与假设要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？

①经过商议让甲走得更远（最远走千米，但回程就没有食物和水了），需要乙在适当的地点留小足够的食物和水.

②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.

③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往回返，到50千米处吃1份（到此为止甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1份（此处食物和水是乙留下的），第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点

模型错位推进法

解析所谓“错位推进法”对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论——其中的1位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.

检验从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了.考虑一下甲是否还可以再往前推进5千米呢？

在一排10个花盆中种植3种不同的花卉，要求每3个相邻的花盆中所种的花的品种各不相同，问共可有多少种不同的种植方法？

【9】家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水.

分析从5升的满水壶倒出2升即可得到3升的水，问题是如何使6升的水壶空出2

升的空间（即得到4升水），问题是如何使5升的水壶空出1升的空间（即得到4升水），问题是如何使6升的水壶空出1升的空间（即得到5升水），此问题不难解决.

假设由上分析可以如下操作：

1将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中，在6升的水壶中得到1升的空间.

2用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的1升空间，此时的5升水壶空出了1升的空间.

3将5升水壶中的4升水倒进6升的空水壶，在6升水壶中的得到2升的空间.

4用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的2升空间,.

此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了.

模型逆向推理综合法

解析按分析及假设即可将问题解决，得到3升的水.

检验逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法，用途非常广泛.

练习题

某盐溶液的浓度为20%，加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水，问溶液的浓度为多少？

【10】箱子里放着一箱梨，第一个人拿了梨总数的一半又多半只，第二个人拿了剩下梨的一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下的一半又多半只，第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。

这时箱子里的梨正好拿完，而且每人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨?

假设假定箱子里原来有只梨，则有条件

①第一个人拿梨数：

；

②第二个人拿梨数：

③第三个人拿梨数：

④第四个人拿梨数：

⑤第五个人拿梨数：