广州市人教版七年级上册数学知识点总结文档格式.docx

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1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数,0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解:

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数

引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像－2，-４，－6,-8…也是偶数,-１,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类　　　　　⑵按正、负来分

　　　正整数　　　　正整数

　　　　　　整数0　　　　　　　　　　正有理数

　　　负整数　　　正分数

有理数　　　　　　　　有理数０　　　　（0不能忽视）

　　　　　　正分数　　　　　　　　　　　负整数

　分数　　　　　　　　　负有理数

　　　　负分数　　　　　　　　　　　　　　　　负分数

总结:

①正整数、０统称为非负整数（也叫自然数）

　②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、０统称为非负有理数

　④负有理数、０统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向,单位长度的直线叫做数轴。

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;

⑶同一数轴上的单位长度要统一；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

２．数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

３．利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；

⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数;

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数;

⑶最大的负整数是-１，无最小的负整数

５.ａ可以表示什么数

⑴a>

0表示a是正数；

反之，a是正数,则a>

0;

⑵a<

０表示a是负数；

反之，a是负数,则a<

⑶a＝0表示ａ是0;

反之,a是0，,则a=0

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

注意:

⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶０的相反数是它本身；

相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数，即a,b互为相反数，则a+b＝0

３.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数；

互为相反数的两个数,在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁,并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；

原点表示０的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

５的相反数是-５）;

⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”,然后化简（如；

5a＋ｂ的相反数是-（5a+b）。

化简得-5ａ-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如:

-5的相反数是-（-5），化简得５）

5.相反数的表示方法

⑴一般地,数a　的相反数是－ａ　,其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a＞0时，-a＜０（正数的相反数是负数）

当a<

０时，-a>

0（负数的相反数是正数）

当a=0时,-a＝0,（0的相反数是0）

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜ａ｜。

2．绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数;

　⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为:

①如果ａ>

0，那么|ａ|＝a;

　②如果a<

０，那么|a|=－ａ；

　③如果ａ＝０，那么|ａ｜=0。

可归纳为①：

a≥0，<

═>

|a|=a（非负数的绝对值等于本身;

绝对值等于本身的数是非负数。

）

②a≤０,<

|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数;

绝对值等于其相反数的数是非正数。

经典考题

　　如数轴所示,化简下列各数

　｜a|,　　｜b|,｜c|　,|a-b|,　|a-ｃ|，｜b+c|

解：

由题知道，因为a>

0，ｂ<

0，c<

０，　a-b＞0,　a－c＞0,ｂ＋c<

０，

所以|a｜=a,|b|=-b，　｜c|=－ｃ,|a-b|＝a-b,　|ａ-c|=a-c,|ｂ+c｜=-（b＋c）=-b-c

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，ａ取任何有理数,都有|a|≥0。

即⑴0的绝对值是0；

绝对值是０的数是０.即:

a=0<

|ａ｜=0；

⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0．即:

|ａ|≥0;

⑶任何数的绝对值都不小于原数。

即：

|ａ|≥ａ；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

若｜x|=a（a＞0）,则x=±

a;

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

|-ａ｜=|ａ｜或若a+b=0，则|a|＝|b|;

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

|a｜＝|b|，则a=ｂ或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。

即|a|+|ｂ|=0,则a＝０且b=0。

（非负数的常用性质：

若几个非负数的和为０，则有且只有这几个非负数同时为0）

已知|a+3|+|２b-２|+|c－1｜=0,求ａ+b+c的值

解:

因为|ａ+3|≥0，|２b-２|≥0,｜c-1｜≥０，且｜a+3|+|2b-２|+｜c-1|=0

所以|ａ＋3|=０，｜2b－2|=0　，|c－１｜=０

即ａ=-３,b＝1　,c=1

所以a+b+c＝-３＋1+１=-1

4．有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:

数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;

⑵利用绝对值比较两个负数的大小:

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；

异号两数比较大小,正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时,|a|=a;

　　②当a≤０时,|a|＝-a　

6.已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数ａ的点到原点的距离，一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为０的数是0,没有绝对值为负数的数。

如:

|ａ|=５，则a=土５

有理数的加减法

１.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加,和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

ａ+ｂ=b+a

⑵加法结合律:

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;

④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大;

加负数后的和比原数小;

加0后的和等于原数。

⑴当b>

0时，ａ+b＞a　　　⑵当b<

0时,a+b<

a　　　⑶当ｂ＝0时，a+b=ａ

4.有理数减法法则

减去一个数,等于加上这个数的相反数。

用字母表示为:

ａ-b=ａ+（-b）。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=－8－7-6＋５．

和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负８、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加５”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

（-3３）－（-１8）+（-1５）－（+1）＋（+２３）

原式＝-3３＋（+18）+（-15）+（-1）+（＋23）　　　　　（将减法转换成加法）

=-３3＋18－1５-1+23　　　　　　（省略加号和括号）

=（-３３-１５-1）＋（18+２３）　　　　（把符号相同的加数相结合）

=-49＋４1　　　　　　（运用加法法则一进行运算）

=－8　　　　　　　（运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）

（+6.6）+（-5．2）-（-3.8）＋（-2．6）-（+4.８）

原式＝（＋6.6）+（-5.2）＋（+3.8）+（－2.6）＋（-4.8）　　（将减法转换成加法）

=6．6-５.２+3.8-２．6-４.８　　　　（省略加号和括号）

=（6.６-２.6）+（－5.2-４.8）+３.８　　　　（把和为整数的加数相结合）

=4-10＋3．8　　　　　（运用加法法则进行运算）

=7.8－10　　　　　　　　　（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=－2.２　　　　　　　　　　（得出结论）

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

－

+

-

原式=（-

）＋（-

）＋（+

=-1+0-

=-1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

（＋0.125）－（-3

）+（-3

）-（-１0

）－（＋１.25）

原式＝（+

）+（+3

）+（-３

）+（＋１０

）+（－１

=

+3

-3

+10

－1

＝（3

）+（

）+１0

＝2

-3＋1０

=-3+１3

＝10

Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

－3

＋10

-1２

+4

原式=（-3＋1０-１2+4）+（－

＋