半角模型专题专练Word文档下载推荐.docx

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△ANE和△AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11：

MN﹦√2EF（可由相似得到）

结论12：

S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到）结论5的证明：

设正方形ABCD的边长为1

则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3

﹦1﹣x﹣y﹣（1﹣x）（1﹣y）

11

结论6的证明：

将△ADN顺时针旋转90°

使AD与AB重合∴DN﹦BN′

结论7的所有相似三角形：

易证△AMN≌△AMN′∴MN﹦MN′在Rt△BMN′中，由勾股定理可得：

BM2﹢BN′2﹦MN′2即BM2﹢DN2﹦MN2

结论8的证明：

因为△AMN∽△AFE

∴∠3＝∠2

因为△AMN∽△BAN

∴∠3＝∠4

∴∠2＝∠4

因为AB∥CD

∴∠1＝∠4

∴∠1＝∠2

结论9的证明：

因为∠EAN﹦∠EBN＝45°

∴A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：

共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A、M、F、D四点共圆C、E、M、F四点共圆

**必会结论图形研究正方形半角模型

已知：

正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且Ð

EAF=45°

，AE、AF分别交BD于H、G，连EF.

一、全等关系

（1）求证：

①DF+BE=EF；

②DG2﹢BH2﹦HG2；

③AE平分Ð

BEF，AF平分Ð

DFE.

二、相似关系

（2）求证：

①CE=2DG；

②CF=2BH；

③EF=2HG.

（3）求证：

④AB2=BG×

DH；

⑤AG2=BG×

HG；

⑥BE×

DF=1.CECF2

三、垂直关系

（4）求证：

①AG⊥EG；

②AH⊥FH；

③tanÐ

HCF=AB.BE

（5）、和差关系

求证：

①BG-DG=2BE；

②AD+DF=2DH；

③|BE-DF|=2|BH-DG|.

例1、在正方形ABCD中，已知∠MAN﹦45°

，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.

②.求证：

AB=AH.

例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°

，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.

∠EAF＝1∠BAD

例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°

，若BD=5，

CE=8，求DE的长。

例4、请阅读下列材料：

已知：

如图1在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE=45．探

究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：

把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？

请说明你的猜想并给予证明．

例5、探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°

，试判断BE、DF与

EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：

；

（2）如图2，若把

（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°

，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1∠BAD”，则

（1）问中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证

2

明，若不成立，请说明理由；

（3）在

（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则

（1）问中的结论是否发生变化？

若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固1：

如图，在四边形ABCD中，∠B﹦∠D﹦90°

，AB﹦AD，若E、在边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD.

EF=BE+DF.

练习巩固2：

如图，在五边形ABCDE中，AB﹦BC﹦CD﹦DE﹦EA，

∠CAD＝1∠BAE，求∠BAE的度数

练习巩固3：

正方形ABCD中，MAN=45o，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延

长线）于点M、N．

（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

（3）

（4）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

（1）如图②，若M为AD边的中点，

①△AEM的周长﹦cm；

②求证：

EP﹦AE﹢DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），

△PDM的周长是否发生变化？

请说明理由．

（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

（1）若∠EAF﹦45º

．求证：

EF﹦BE﹢DF．

（2）若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF﹦45º

，问⊿CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？

（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

练习巩固5、

如图，已知在正方形ABCD中，MAN﹦45°

，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。

（1）MN﹦MB﹢DN；

（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；

（3）VCMN的周长等于正方形ABCD边长的2倍；

（4）WABCD=2AB；

SVCMN=MN

（5）若MAB﹦20°

，求AMN；

（6）若MAB=（0pp45o），求AMN；

（7）EF2=EB2+DF2；

（8）VAEN与VAFM是等腰三角形；

S

VAEF

练习巩固6、

在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDN=60，

BDC=120，BD=CD，探究：

当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，BN，MN之间的数量

关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

1）如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式

此时Q=

L

（2）如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DMDN时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x，L表示）

练习巩固7、

如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°

的等腰三角形，以D为顶点作一个60°

的∠MDN，点M，N分别在AB，AC上，求△AMN的周长

练习巩固8、

如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF﹦5，DF﹦4，求∠BAE﹢∠DCF为多少度。

巩固练习9、

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°

，∠A﹦∠E﹦30°

。

△EDF绕着边AB的中点D

旋转，DE，DF分别交线．段．AC于点M，K．

（1）①如图2、图3，当∠CDF﹦0°

或60°

时，AM﹢CKMK（填“>

”，“<

”或“=”）．

②如图4，当∠CDF﹦30°

时，AM﹢CK___MK（只填“>

”或“<

”）．

（2）猜想：

如图1，当0°

<

∠CDF<

60°

时，AM﹢CKMK，证明你所得到的结论．

（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和MK的值．AM