流体力学习题及答案Word格式.docx

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平板表面受到剪切应力作用，根据牛顿内摩擦定律，剪切应力为：

由于，得到，因此。

作用于平板上的粘性切向力为：

；

其中水的密度为：

时水的运动粘性系数为：

代入上式得到：

1-6设物面附近流体的流动如图所示，如果边界层内流速按抛物线分布：

，当，，温度为，试问流体分别为水和空气时，作用于壁面OAB上的剪切应力。

物体表面的剪切应力为：

由于：

，当时，。

因此：

（1）当流体为水时：

时水的密度和运动粘性系数分别为：

，，

（2）当流体为空气时：

时空气的密度和运动粘性系数分别为：

1-7有一旋转粘度计如图所示。

同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间隙很小，筒以等角速度转动。

设间隙中的流体速度沿矢径方向且为线性分布，很长，底部影响不计。

如测得轴的扭矩为，求流体的粘性系数。

轴承受的剪切应力：

则轴受到的剪切力为：

由于轴受到的扭矩为，则：

，即；

所以：

第二章流体静力学

2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa，求距地面100m和1000m高空处的压力。

取空气密度为，并注意到。

（1）100米高空处：

（2）1000米高空处：

2-2如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承受海水的压力分别为多少？

取海水密度为，并注意到所求压力为相对压力。

（1）当水深为50米时：

（2）当水深为500米时：

（3）当水深为5000米时：

2-3试决定图示装置中A，B两点间的压力差。

已知：

，，，，；

酒精重度，水银重度，水的重度。

设A，B两点的压力分别为和，1,2,3,4各个点处的压力分别为，，和。

根据各个等压面的关系有：

，

整理得到：

2-4有闸门如图所示，其圆心角，转轴位于水面上。

已知闸门宽度为B，半径为R，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角。

（1）求水平分力

由于，则；

（2）求垂向分力

其中：

因此。

（3）求合力

合力大小：

合力方向：

，。

2-5设水深为，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。

（1）抛物线：

，（为常数）；

（2）正弦曲线：

，（，，为常数）。

（1），为常数。

水平分力：

其中，；

垂直分力：

其中，而，并注意到，于是得到：

因此，。

（2），（，，为常数）。

2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。

已知水的重度（N/m3），水渠左壁为的直线，右壁为的抛物线。

（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式计算

作用力大小：

作用力方向：

垂直作用于平板OA，并指向OA。

作用点：

，其中，，。

因此，；

②采用柱面公式计算

合力：

（2）水渠右壁面受力

而，；

2-7一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。

若该容器以等角速度绕其中心轴转动，设r=0，z=h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。

（1）作用于筒内流体的质量力包括两项：

第一项：

与坐标方向相反的重力，重力加速度为；

第二项：

沿坐标方向的离心力，离心加速度为。

因此单位质量力为：

，其中：

、分别为、方向的单位向量。

（2）对于静止流体微分方程：

，其中压力梯度：

将质量力和压力梯度代入，则得到：

比较方程两端，则得到：

（3）压力的全微分：

，将和代入其中，有：

将上式两端同时积分，得到：

，其中为常数。

将条件、时代入上式，则得到：

即流体内部的压力分布为：

又由于在自由表面上：

，代入到上述压力分布式中，则得到：

该式便是筒内流体的自由面方程。

2-8底面积a×

a=200×

200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg，水的高度为h=150mm，容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H。

（1）求水平加速度：

建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为。

设容器内水的质量为，容器和水的总质量为，则：

（kg），

（kg）。

由牛顿第二定律：

其中为摩擦系数，则水平加速度为：

（2）求作用于流体上的单位质量力：

单位质量力为：

代入到静止流体平衡微分方程中，有：

比较方程两端，可以得到：

（3）求自由表面方程

压力的全微分为：

在自由液面上，，。

代入到上式中得到：

对其进行积分，得到自由表面方程：

其中为常数。

***（确定常数和高度）：

由于自由表面方程通过两点：

、，代入到自由面方程中，则有：

（1）

（2）

将

（1）代入到

（2）中，得到：

（3）

又由于倾斜前后，水体积（质量）保持不变，则有：

（4）

将（4）代入（3）中，得到：

（m），

即不使水溢出的最小高度为0.218m。

2-9一物体位于互不相容的两种液体的交界处。

若两液体的重度分别为，（＞），物体浸入液体中的体积为V1，浸入液体中的体积为V2，求物体的浮力。

设微元面积上的压力为，其单位外法向量为，则作用于上的流体静力为。

沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为。

设部分的表面积为，设部分的表面积为，两种液体交界面处物体的截面积为，交界面处的压力为。

并建立下述坐标系，即取交界面为平面，轴垂直向上为正，液体深度向下为正，显然。

在上，在上；

在此，需要注意到，由于在交界面上，因此有。

将这两项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：

利用高斯公式，可以得到：

即物体受到的浮力为。

第三章流体运动学

3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？

对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：

存在函数：

和，

并且满足条件：

因此，存在流函数，且为：

3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?

如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。

3-3就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。

（1）

（2），其中m，K为常数。

（1）流场的加速度表达式为：

由速度分布，可以计算得到：

，因此：

，；

代入到加速度表达式中：

（2）由速度分布函数可以得到：

3-4已知欧拉参数表示的速度场分布为，，试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。

已知时，。

（1）流体质点的轨迹方程为：

将速度分布带入，得到：

两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。

将第一个方程改写为：

该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为。

先求齐次方程的通解，齐次方程为：

两端同时积分得到：

（2）令非齐次方程的特解为：

对其两端求导得到：

将上述和代入到原非齐次方程中，有：

两端同时积分：

代入到特解中得到：

（3）将初始条件时代入上式，得到：

同理可得：

轨迹方程为：

（4）用拉格朗日法表达的速度为：

3-5绘出下列流函数所表示的流动图形（标明流动方向），计算其速度、加速度，并求势函数，绘出等势线。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

①流动图形：

流线方程为，流线和流动方向如图中实线所示；

②速度：

，流场为均匀流动；

③加速度：

④求速度势函数：

由于平均旋转角速度：

，因此流场为无旋流场，势函数存在：

⑤等势线：

等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。

（2）

由于平均旋转角速度，流场为无旋流场，势函数存在：

（3）

由于，流场为有旋流场，势函数不存在。

（4）

，为有旋流场，势函数不存在。

3-6已知平面不可压缩流体的速度分布为

（1），；

（2），；

（3），。

判断是否存在势函数和流函数，若存在，则求之。

（1），

①求速度势函数：

，为有旋流动，势函数不存在。

②求流函数：

由于，满足不可压缩流体的连续方程，流函数存在：

（2），

由于，不满足不可压缩流体的连续方程，流函数不存在。

（3），

，为无旋流动，势函数存在：

3-7已知欧拉参数表示的速度分布为，，求流体质点的轨迹。

由轨迹方程，并将和代入得到：

或者写成：

两端同时积分，得到：

，即

3-8已知流场的速度分布为，，求时通过点的流线。

将速度分布函数代入连续方程：

得到：

因此可知，速度分布与坐标无关，流动为二维流动。

由流函数定义式得到：

由于流函数为常数时表示流线，因此流线方程为：

将将条件：

当，、代入上式，得；

因此该瞬时过的流线方程为：

3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为，，求时过点的流线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。

（1）求流线方程：

由于，流函数存在，且为：

则流线方程为：

将条件：

当时，、代入，得；

则该瞬时过将点的流线方程为：

（2）求加速度：

时，、代入，得到该瞬时过将点的流体质点的加速度为：

（3）轨迹方程：