微积分知识点总结Word文档格式.docx

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f

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w

x

根据下列图示，写出复合函数的所有链式求导法则：

（做题时，一次可能只会用到一个---用到那个就写那个，不必全部写出了.）

zfufv

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f1'

u

f1'

f2'

f2'

分段用乘，分叉用加.y

y（简单！

）

（因为图中：

红色线段有3条；

蓝色线段只有2条.

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虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大.从

最后一题的解题过程中就能看出来.）

f1'

f1'

v

xxvx

yvy

三、1.（11-7）已知函数zf（x

y,xy），其中f具有二阶连续的偏导数，

2z

求xy.

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解：

本题考查的知识点是：

多元复合函数的高阶偏导数

设uxy，vxy，（这两个属于具体函数）

则zfu,v⑴（这个属于抽象函数）

对⑴式，把y看作常数，由链式法则得（下一步：

遇到抽象函数，写

出它的“记号”即可；

遇到具体函数，求出它的偏导数.最后一步：

在抽象函数的记号后面标出它的“自变量”---因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自变量”

有几个，各是“啥”？

，这样，后面做题时，就会“一目了然”

.）

1

'

1

y

⑵

对⑵

式，把x看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：

）f2

y（

2

xy

（

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f111

f12x

f2

y（f21

1f22x）

f11

xf12

f2

yf21

xyf22

（x

y）f12f2

注：

f1

f1

u,v

fuu,v

（这些记号都是为抽象函数准备的！

）

fvu,v

v（具体函数不需要这些记号！

f1

；

f22

fffv

ffv

分段用乘，分叉用加.yvy（简单）

三、1.（07-7）

设z

xfx,y

，其中f具有连续二阶偏导数，

2z2z

求yx和xy.

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设vx，（这个属于具体函数）

则zxfx,v

⑴（这里面既有具体函数又有抽象函数

---其

中，x为具体函数；

f

x,v为抽象函数.）

y（下面用到的就是这一个）

先求yx

对

⑴式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则

⑵得：

xf2

f2f2x,v

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x（下面用到的就是这一个）

对⑵式，把y看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：

f21

f22

x2

y2f22

yx

设v

，

（这个属于具体函数）

则zxfx,v⑴（这里面既有具体函数又有抽象函数）

再求xy

对⑴式，把y看作常数，由链式法则和函数求导法则得：

fx,vxf1

fx,v

x2

fx,vxfx,v

x,v

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yvy（下面用到的就是这一个）

f2f2v

对⑵式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：

xf12

1f2

yf22

f12

f22

y2

比较y

x和

xy的求解过程，可以看出：

yx比

xy的求解过程要

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简单得多.

这是因为在中，y的关系简单.

二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无

关，所以就可以自由选择次序---优先选择关系少

的变量（在本题中，显然y的关系少，这样优先

选择y就会简单的多.）！

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