北京高考文科数学真题及答案文档格式.docx

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（D）

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）1（B）2（C）3（D）4

（5）已知双曲线

（a>

0）的离心率是

，则a=

（B）4（C）2（D）

（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足

，其中星等为

的星的亮度为

（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）

（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，

是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

（A）4β+4cosβ（B）4β+4sinβ（C）2β+2cosβ（D）2β+2sinβ

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知向量

=（–4，3），

=（6，m），且

，则m=__________．

（10）若x，y满足

则

的最小值为__________，最大值为__________．

（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

（13）已知l，m是平面

外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；

②m∥

；

③l⊥

．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

__________．

（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：

一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在△ABC中，a=3，

，cosB=

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B+C）的值．

（16）（本小题13分）

设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

（17）（本小题12分）

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额

支付方式

不大于2000元

大于2000元

仅使用A

27人

3人

仅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？

说明理由．

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥

中，

平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．

（Ⅰ）求证：

BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°

，求证：

平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？

（19）（本小题14分）

已知椭圆

的右焦点为

，且经过点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线

与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·

|ON|=2，求证：

直线l经过定点．

（20）（本小题14分）

已知函数

（Ⅰ）求曲线

的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当

时，求证：

（Ⅲ）设

，记

在区间

上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C

（2）D（3）A（4）B

（5）D（6）C（7）A（8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）8（10）–31

（11）

（12）40

（13）若

，则

．（答案不唯一）

（14）13015

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）由余弦定理

，得

因为

，

所以

解得

（Ⅱ）由

得

由正弦定理得

在

（16）（共13分）

（Ⅰ）设

的公差为

成等比数列，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以，当

时，

当

所以，

的最小值为

（17）（共12分）

（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，

A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．

估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为

（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则

（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（II）知，

=0.04．

答案示例1：

可以认为有变化．理由如下：

比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．

答案示例2：

无法确定有没有变化．理由如下：

事件E是随机事件，

比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．

（18）（共14分）

（Ⅰ）因为

平面ABCD，

又因为底面ABCD为菱形，

平面PAC．

（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥AE．

因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°

，且E为CD的中点，

所以AE⊥CD．

所以AB⊥AE．

所以AE⊥平面PAB．

所以平面PAB⊥平面PAE．

（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．

取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．

则FG∥AB，且FG=

AB．

因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，

所以CE∥AB，且CE=

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四边形CEGF为平行四边形．

所以CF∥EG．

因为CF

平面PAE，EG

平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

（19）（共14分）

（I）由题意得，b2=1，c=1．

所以a2=b2+c2=2．

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则直线AP的方程为

令y=0，得点M的横坐标

又

，从而

同理，

由

解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．

（20）（共14分）

（Ⅰ）由

令

，即

或

所以曲线

的斜率为1的切线方程是

与

即

（Ⅱ）令

的情况如下：

，最大值为

故

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

综上，当

最小时，