第二篇 函数 导数及其应用必修1选修22第9节 函数模型及其应用 Word版含答案Word文档格式.docx
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y
15
17
19
21
23
25
27
（A）一次函数（B）二次函数
（C）指数函数（D）对数函数
解析:
由表可知,自变量x每增加1个单位,y的值增加2个单位,因此是一次函数模型.故选A.
2.导学号18702093一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的时,需要经过（ C ）
（A）5年（B）4年（C）3年（D）2年
由指数函数模型知（）x=,
解得x=3.
3.A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处的D地建一座核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市的距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数为0.25,且A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月,要使供电费用最小,则x等于（ B ）
（A）50km（B）km（C）25km（D）15km
由题意知供电费用
y=5x2+（100-x）2（10≤x≤90）.
则y=x2-500x+25000=（x-）2+
故x=时,y有最小值.故选B.
4.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am（0<
a<
12）,4m,不考虑树的粗细,现在用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2,
S的最大值为f（a）,若将这棵树围在花圃内,则函数u=f（a）的图象大致是（ C ）
设CD=x,则S=x（16-x）（4<
x<
16-a）,
u=Smax=f（a）=
5.某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示.操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成（ B ）
（A）50米（B）100米（C）125米（D）150米
设矩形的长为x米,半圆的直径为d米,中间矩形的面积为S平方米,
依题意可得,
2x+πd=400,d=（0<
200）.
S=dx=·
=（400-2x）·
2x≤[]2
=,
当且仅当400-2x=2x,即x=100时,学生的做操区域最大.
即矩形的长应该设计成100米.选B.
6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t（单位:
分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数）,如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为（ B ）
（A）3.50分钟（B）3.75分钟
（C）4.00分钟（D）4.25分钟
由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点（3,0.7）,（4,0.8）,（5,0.5）,分别代入解析式,
得
解得
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.
7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f（x）的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:
00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为（ C ）
（A）上午10:
00（B）中午12:
00
（C）下午4:
00（D）下午6:
当x∈[0,4]时,设y=k1x,把（4,320）代入,
得k1=80,
所以y=80x,
当x∈[4,20]时,
设y=k2x+b.
把（4,320）,（20,0）代入得
所以y=400-20x.
所以y=f（x）=
由y≥240,得或
所以3≤x≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午4:
00.
8.某商场出售一种商品,每天可卖1000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益每件单价应降低 元.
设降低x元,总利润为y元,
由题意得y=（1000+×
100）（4-x）（0≤x<
4）,
化简得y=-1000x2+3000x+4000,
对应的二次函数图象对称轴为x=,
因为∈[0,4）,
所以x=时y有最大值.
答案:
1.5
9.有某种细胞100个,其中占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过 小时,细胞总数可以超过1010个.（参考数据:
lg3≈0.477,lg2≈0.301）
现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4小时后的细胞总数,
1小时后细胞总数为
×
100+×
100×
2=×
100;
2小时后细胞总数为
3小时后细胞总数为
4小时后细胞总数为
可见,细胞总数y（个）与时间x（时）之间的函数关系为
y=100×
（）x,x∈N+.
由100×
（）x>
1010,得（）x>
108,
两边取以10为底的对数,得xlg>
8,
所以x>
.
因为≈≈45.45,
45.45,
故经过46小时,细胞总数可以超过1010个.
46
10.为了优化城市环境,方便民众出行,某市在某路段开设了一条仅供车身长为10m的BRT行驶的专用车道.据数据分析发现,该车道上行驶中前、后两辆BRT公交车间的安全距离d（m）与车速v（km/h）之间满足二次函数关系d=f（v）.现已知车速为15km/h时,安全距离为8m;
车速为45km/h时,安全距离为38m;
出行堵车状况时,两车安全距离为2m.
（1）试确定d关于v的函数关系d=f（v）;
（2）车速v（km/h）为多少时,单位时间内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?
解:
（1）设d=f（v）=av2+bv+c（a≠0）,
将点（0,2）,（15,8）,（45,38）分别代入得
⇒a=,b=,c=2.
所以d=f（v）=v2+v+2.
（2）设单位时间内通过的汽车数量为Q,
则Q==≤=1000（辆）,
当且仅当=,即v=30时等号成立.
答:
当v为30km/h时通过的汽车数量最多,最多为1000辆.
能力提升练（时间:
15分钟）
11.我们定义函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）为“下整函数”;
定义y={x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“上整函数”;
例如[4.3]
=4,[5]=5;
{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时（包括1小时）收费2元,超过一小时,不超过2小时（包括
2小时）收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为（单位:
元）（ C ）
（A）2[x+1]（B）2（[x]+1）
（C）2{x}（D）{2x}
如x=1时,应付费2元,
此时2[x+1]=4,2（[x]+1）=4,排除A,B;
当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1排除D,故选C.
12.（2016·
北京东城区二模）一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品,根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:
优惠券1:
若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;
优惠券2:
若标价超过100元,则付款时减免20元;
优惠券3:
若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.
若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为（ C ）
（A）179元（B）199元（C）219元（D）239元
由题意,优惠券1比优惠券2减免的多,
所以他购买的商品的标价超过200元.
他购买的商品的标价为219元,优惠券1减免21.9元;
优惠券2减免20元;
优惠券3减免21.42元;
标价为239元,优惠券1减免23.9元;
优惠券3减免25.02元.故选C.
13.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,以及汽车惯性有一个刹车距离,设停车安全距离为s,驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1,刹车距离为s2,则s=s1+s2,而s1与反应时间t有关,s1=10ln（t+1）,s2与车速v有关,s2=bv2.某人刹车反应时间为（-1）秒.当车速为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100km/h的高速公路上,则该汽车的安全距离为
米.（精确到米）
因为刹车反应时间为（-1）秒,
所以s1=10ln（-1+1）=10ln=5,
当车速为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,
则s2=b·
602=20,解得b=,
即s2=v2.
若v=100,则s2=×
1002≈56,s1=5,
则该汽车的安全距离s=s1+s2≈5+56=61（米）.
61
14.某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x（百台）,其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本）,并且销售收入r（x）满足r（x）=假设该产品产销平衡,根据上述统计数据规律求:
（1）要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大?
依题意得
g（x）=x+3,设利润函数为f（x）,
则f（x）=r（x）-g（x）,
所以f（x）=
（1）要使工厂有盈利,则有f（x）>
0,
因为f（x）>
0⇔或
⇒或
⇒或7<
10.5.
⇒3<
x≤7或7<
10.5,即3<
所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内.
（2）当3<
x≤7时,f（x）=-0.5（x-6）2+4.5,
故当x=6时,f（x）有最大值4.5.
而当x>
7时,f（x）<
10.5-7=3.5.
所以当工厂生产600台产品时,盈利最大.
15.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:
奖金y（单位:
万元）随投资收益x（单位:
万元）的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;
（2）若该公司采用函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.
（1）设奖励函数模型为y=f（x）,
则公司对函数模型的基本要求是:
当x∈[10,1000]时,①f（x）是增函数;
②f（x）≤9恒成立;
③f（x）≤恒成立.
函数模型f（x）=+2不符合公司要求.
当x∈[10,1000]时,f（x）是增函数,
则f（x）max=f（1000）=+2=+2<
9,
所以f（x）≤9恒成立.
因为x=10时,f（10）=+2>
所以f（x）≤不
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