极值点偏移问题_精品文档文档格式.docx
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(1)因为可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,又,有由于,故,所以,即函数极大(小)值点右(左)偏。
判定定理2对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且,
(2)若,则,即函数在区间上极大(小)值点左(右)偏。
证明:
(1)因为对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,又,有,且,又,故,所以,即函数极大(小)值点右(左)偏.
结论
(2)证明略。
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1.方法概述:
(1)求出函数的极值点;
(2)构造一元差函数
(3)确定函数的单调性;
(4)结合,判断的符号,从而确定的大小关系。
2.抽化模型
答题模板:
若已知函数满足,为的极值点,求证:
(1)讨论函数的单调性并求出的极值点;
假设此处在上单调递减,在上单调递增。
(2)构造;
注:
此处根据题意需要还可以构造成
(3)通过求导谈论的单调性,判断处在某段区间上的正负,并得出与的大小关系;
假设此处在上单调递增,那么我们便可以得出,从而得到:
时,
(4)不妨设,通过的单调性,,的大小关系得出结论;
接上述情况:
由于时,且,故,又因为,且在上单调递减,从而得到,从而得证;
(5)若要证明还需进一步讨论与的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证;
此处只需继续证明:
因为故,由于在上单调递减,故
说明:
(1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;
(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求的单调性、极值点,证明或的大小关系;
若试题难度较大,则直接给出形如或者的结论,让你给出证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。
三、例题
(一)不含参数的的极值点偏移问题
例1:
(2010天津理21)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若,且,求证:
解答:
【法一】
(1),;
增减极大值
(2),
;
减;
增
时,即
,不妨设,由
(1)知,
,在上增,
,即
【法二】
欲证,即证
由法一知,故
又因为在上是单调递减的,只需证,
又因为,故也即证,
构造函数,
由
在上单调递增,
故原不等式成立
【法三】
由得,,化简得①
不妨设,由法一知,令,则,,
代入①得:
,反解出:
,则,
故要证即证,又因为,
等价于证明:
②
构造函数,则,,
故上单调递增,
从而上单调递增,
【法四】
由得,,化简得①,
两边同时取以e为底的对数:
得,即,
从而,
令,则欲证等价于证明②,
构造,
则,
又令则,
由于对恒成立,故,
在上单调递增,,
对恒成立,在上单调递增,
由洛必达法则知:
即,即证③式成立,也即原不等式成立
例2:
(2013湖南文21),
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:
当时,
(二)含参数的极值点偏移问题
含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元基础上,有多了一个参数,故思路很自然的就会想到:
想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决,或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数。
例1已知函数有两个不同的零点,求证:
例2.已知函数,为常数,若函数有两个不同的零点,求证:
例3:
已知是函数的两个零点,且
(1)求证:
(2)
例4:
已知函数,若存在(),使求证:
变式训练:
1.设函数的图像与轴交于两点,
(1)证明:
(2)求证:
2.设函数,其图像在点处切线的斜率为,当时,令,设()是方程的两个根,是的等差中项,求证:
3.已知函数
(1)若,求函数在上的零点个数;
(2)若有两零点(),求证:
4.已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)设,证明:
时,
(三)含对数式的极值点偏移问题
根据建立等式,通过消参、恒等变形转化为对数平均,捆绑构造函数,利用对数平均不等式链求解。
对数平均不等式的介绍与证明
两个整数和的对数平均定义:
,
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:
已知函数
当时,;
(3)若函数的图像与轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,证明:
(四)含指数式的极值点偏移问题
例1(全国1卷2016理21)已知函数有两个零点,证明:
例2(天津2010理21)已知函数
例3.设函数的图像与轴交于两点,证明:
已知函数在上有两个零点
(1)求实数的取值范围;
;
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