2011《非线性振动》试题解答解析.doc
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华中科技大学研究生课程考试试卷
课程名称：
非线性振动与控制课程类别□公共课R专业课考核形式R开卷□闭卷
学生类别考试日期2011.12.21学生所在院系
学号姓名任课教师
题1：
（20分）
Figure1Particleonarotatingparabola
x
z
W
O
mg
Considerthemotionofaparticleofmassslidingfreelyonawiredescribedbyparabolawhichrotatesaboutthez-axisasshowninFigure1.Weassumethatthewireisweightlessandthatitsangularvelocityischangingwiththepositionofthemassalongthewire.Thereisnooutsideinfluenceactingonthewire.
（a）Showthattheequationsofmotionare
and
（b）Showthat
whereisaconstantofintegration（essentiallythisisastatementofconservationofangularmomentum）andthatthegoverningequationforcanbewrittenintheform
（c）Discussthemotionofthemassalongparabola.Showthatthemotionisalwaysboundedinthissystem.
（d）Forand,plotthetrajectoriesinthephaseplane.【注：
这里为重力加速度，这一值的单位为。
】
题2：
（20分）
Determinethesingularpointsandtheirtypesforthesystem
Sketchthetrajectoriesandtheseparatricesinthestateplane.
题3：
（20分）
Considerthemotionofasystemgovernedby
where.
（a）Showthat
where
（Notethatmustbepositiveforarealisticsystem.）
（b）Determinethestationarymotionsandtheirstabilityasafunctionofthemagnitudesandthesignsofand.
题4：
（20分）
Considerthesystemgovernedby
（a）Whenisnearunity,showthatforsmallbutfiniteamplitudesoftheresponse
where
Hereisameasureoftheamplitudeoftheresponse.Obtainthefrequency-responseequation.Showthat.Howdoesthisvalueofcomparewiththatthecaseoflinearviscousdamping?
Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
（b）Whenisnearonethird（superharmonicresponse）,showthat
where
Obtainthefrequency-responseequation.Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
（c）Whenisnear3（subharmonicresponse）,showthat
where
Obtainthefrequency-responseequation.Plotversusand.Isthereajumpphenomenon?
题5：
（20分）
ConsiderthesystemshowninFigure5whenthetension.
（a）Showthatthegoverningequationis
（b）Linearizethegoverningequationtoobtain
（c）Determinesecond-orderexpansionsforthetransitioncurvesseparatingstabilityfrominstabilitywhen
（d）If,determinetheinfluenceofthenonlineartermstofirstorderwhen.
Figure5Particleattachedtostretchedstring
l
l
m
x
TT
TT
注意：
所有的题目并没有给出完整的解答，以此作为提供一个解题思路，希望自己推导一遍（使用自己习惯的一套符号），修改和完善其中的不妥之处，然后补全没有给出解答的部分即可。
切勿雷同！
！
！
题一解：
这题关键算Jacobi积分，可以参考Nayfeh的《非线性振动》第二章，或用Mathematica软件计算。
本题有的地方推导过于简单，有些地方没有必要，希望稍作修改。
第三问的分析可能不太恰当！
！
！
（a）系统动能为
（1.1）
系统的势能为
（1.2）
代入Lagrange方程
（1.3）
这里取广义坐标为和，其中是金属丝旋转过的角度，有关系，由此得到系统的运动微分方程
（1.4）
（1.5）
（b）积分式得到
（1.6）
其中是积分常数。
把式代入式并整理得到
（1.7）
（c）下面来求出描述相平面上的运动方程。
设
（1.8）
从方程中消去，我们得到
（1.9）
此式可以改写为
（1.10）
方程积分有
（1.11）
式中是常数。
方程表明，此系统的不是一个常数。
积分称为Jacobi积分。
改写可以得到
（1.12）
并由此可以得出
（1.13）
注意到，所以，当时取等号。
式右边分子必须半正定，即
（1.14）
解得
（1.15）
因此运动是有界的，它用围绕原点的一些闭轨线来表示，而原点是一个中心。
（d）编程的方法课上老师已经交给大家了，自己编写一小段程序即可。
下面的程序仅为示例，不是最终结果。
勿用此程序画的图。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%题一：
画轨线图%%%%%画一条曲线，先确定参数x范围
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clearall;
clc;
p=1.0;
g=32.2;
h=1000.0;
H=12.0;
dt=0.0001;
x0=0.5;
v0=0.5;
II=6740;
X（1:
II）=0.0;
V（1:
II）=0.0;
X
（1）=x0;
V
（1）=v0;
fori=2:
II
x1=x0+v0*dt;
v1=v0-（（2*g*p-H/（x1^4））*x1+4*p^2*x1*v0^2）/（1+4*p^2*x1^2）*dt;
x0=x1;
v0=v1;
X（i）=x0;
V（i）=v0;
end
figure;
plot（X,V,'r'）;
holdon;
on;题二解：
因为
（2.1）
所以系统的奇点满足
（2.2）
由此解得奇点为
（1）对原方程在奇点附近线性化，得
（2.3）
系统矩阵的特征方程为
（2.4）
特征值为
（2.5）
由于和异号，所以奇点为鞍点，它是一个不稳定奇点。
（2）对原方程在奇点附近线性化，
（3）对原方程在奇点附近线性化，
（4）对原方程在奇点附近线性化，
（2）、（3）和（4）方法同
（1），此处略。
这里只提供一个例子，修改初值会得到不同的曲线，需画30~40条线可以反映出题目的要求。
下面仍然是举例说明，例子中只画出了其中两条相轨线。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%题二画相轨迹图%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clearall;
x0=1.0001;
y0=2.00;
dt=0.001;
II=2350;
X（1:
II）=0;
Y（1:
II）=0;
X
（1）=x0;
Y
（1）=y0;
fori=2:
II;
x1=x0+（x0^2+y0^2-5.0）*dt;
y1=y0+（x0*y0-2.0）*dt;
x0=x1;
y0=y1;
X（i）=x0;
Y（i）=y0;
end
figure;
plot（X,Y,'r'）
holdon;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clearall;
x0=0.9999;
y0=2.00;
dt=0.001;
II=10000;
X（1:
II）=0;
Y（1:
II）=0;
X
（1）=x0;
Y
（1）=y0;
fori=2:
II;
x1=x0+（x0^2+y0^2-5.0）*dt;
y1=y0+（x0*y0-2.0）*dt;
x0=x1;
y0=y1;
X（i）=x0;
Y（i）=y0;
end
plot（X,Y,'r'）
holdon;
题三解：
说明：
（b）小题中线性化可能存在问题，因为按照本解答的结果在后面做稳定性分析时，十分复杂。
在奇点附近和奇点附近线性化时可能没有中括号中的第三项？
！
（2.6）
其中
（a）使用多尺度方法求解。
设方程的解为
（2.7）
将此代入方程，令的同次幂系数相等，得
（2.8）
（2.9）
方程的解为
（2.10）
其中现在还是任意的。
将代入方程，得
（2.11）
可知为的周期函数，将其展开为Fourier级数，有
（2.
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