圆锥曲线中的一类对称问题郝明泉_精品文档Word文档下载推荐.doc

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已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称。

法一：

利用判别式及韦达定理来求解

两点关于直线对称，对称中体现的两要点：

垂直和两点连线中点在对称直线上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保:

⑴垂直;

⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。

解:

椭圆上存在两点关于直线对称

设直线为:

（确保垂直）.

则直线与椭圆有两个不同的交点

（确保存在）

即：

①

两点的中点的横坐标为纵坐标为

则点在直线上,.（确保平分）

把上式代入①中,得：

法二：

点差法

点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下

设椭圆上关于对称的两点分别为，弦的中点为，代入椭圆方程后作差，得

①

由点在直线上，得②

由①②解得

因为点在椭圆的内部

所以

解得

法三：

利用根的分布求解

上存在不同的两点关于直线对称，等价于上存在被垂直平分的弦，即等价于的适合条件的弦所在的直线方程，与曲线的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布来求解，过程如下。

解：

由解法二，知中点的坐标为，

所以直线的方程为

代入椭圆方程整理得

此方程在上有两个不等实根

令，则

解得

法四：

利用平行弦中点轨迹

寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围。

设椭圆上关于对称的两点分别为，弦的中点为，将坐标代入椭圆方程后作差，得

所以以为斜率的平行弦的中点轨迹是直线在椭圆内的一段，不包括端点。

将与椭圆联立得两交点

所以问题可以转化为直线与线段有交点。

易得的取值范围是

以上方法在处理其它圆锥曲线时同样适用，但在处理非封闭曲线时，应注意对是否存在的验证。

以上是笔者对这类问题的一点拙见，方法总结未必全面，希望能给各位读者带来帮助，也希望各位读者批评指正。