国际数学奥林匹克IMO竞赛试题第47届_精品文档Word文档格式.doc
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∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB,故∠PBI=∠PCI,从而
P,B,C,I四点共圆.但由内外角平分线相垂直知B,C,I与BC边上的旁切圆心T共圆,且IT是这个圆的直径,IT的中点O为圆心.由于A,I,T共线(∠BAC的平分线),且P在圆周上,AP+PO≥AO=AI+IO,PO=IO,故AP≥AI.
等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立.
2.正2006边形P的一条对角线称为好的,如果它的两端点将P的边界分成的两部分各含P的奇数条边.P的边也是好的.
设P被不在P的内部相交的2003条对角线剖分为三角形.试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值.
解:
对于剖分图中的任一三角形ABC,P的边界被A,B,C分为3段,A-B段所含P的边数记作m(AB).由于m(AB)+m(BC)+m(CA)=2006,故等腰三角形若有两条好边,它们必是两腰.称这样的等腰三角形为好三角形.
考虑任一好三角形ABC(AB=AC).A-B段上若有别的好三角形,其两腰所截下的P的边数为偶数.由于剖分图中的三角形互不交叉,而A-B段上P的边数为奇数,故A-B段上必有P的一边α不属于更小的腰段,同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段,令△ABC对应于{α,β}.由上述取法,两个不同的好三角形对应的二元集无公共元,因此好三角形不多于=1003个.
设P=A1A2…A2006,用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003个好三角形.因此,好三角形个数的最大值是1003.
3.求最小实数M,使得对一切实数a,b,c都成立不等式
.
设,则.
原不等式成为
中两个同号而与另一个反号.不妨设.则
,.于是由算术-几何平均不等式
=
即时原不等式成立.
等号在,,即时达到,故所求的最小的.
4.求所有的整数对(),使得.
对于每组解(),显然,且也是解.时给出两组解.
设>
0,原式化为.与同为偶数且只有一个被4整除.故,且可令,其中为正的奇数,.代入化简得
若,.不满足上式.
故必,此时,解得.但不符合,只有,,.
因此共有4组整数解.
5.设为n次(n>
1)整系数多项式,k是一个正整数.考虑多项式
,其中P出现k次.证明,最多存在n个整数t,使得.
证:
若Q的每个整数不动点都是P的不动点,结论显然成立.
设有整数使得,.作递推数列.它以k为周期.差分数列的每一项整除后一项.由周期性及,所有为同一个正整数.令.
数列的周期为2.即是P的2-周期点.
设a是P的另一个2-周期点,(允许b=a).则与互相整除,故,同理.展开绝对值号,若二者同取正号,推出,矛盾.
故必有一个取负号而得到.记,我们得到:
Q的每个整数不动点都是方程的根.由于P的次数n大于1,这个方程为n次.故得本题结论.
6.对于凸多边形P的每一边b,以b为一边在P内作一个面积最大的三角形.证明,所有这些三角形的面积之和不小于P的面积的两倍.
过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积,将该直线与P的边界的另一交点也看作P的顶点(允许若干个相继顶点共线).每两条面积平分线都交于P内.P可
看成一个2n边形,每条对角线是P的面积平分线(i=1,2,…,n,).设与交于(),由面积关系得到,
,,故和
中必有一个不小于1,于是以为一边在P内作的面积最大的三角形的面积
.
对于每条有向线段,P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧.由于T在和的相反侧,故必有i使得T在和的相反侧,从而T在或中.即.于是
P中同一边上的各个之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积.