合理构造函数解导数问题_精品文档Word格式文档下载.doc
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当时,所以在上递增;
当时,所以在上递减;
又
当时,所以上递增;
又当时,
当时,则且
的取值范围为
原函数草图
二阶导数草图
一阶导数草图
,,
方法二、
构造:
从而在上为增函数;
从而在上为减函数
而
分析点评:
第(3)问的两种解法难易繁杂一目了然,关键在合理构造函数上。
(08、山东、理)已知函数f(x)=+aln(x-1),其中n是正整数,a是常数,若a=1时,求证:
当x≥2时,f(x)≤x-1.
证法一:
当a=1时,f(x)=+ln(x-1),构造函数F(x)=(x-1)-f(x),下证:
当x≥2时,F(x)=(x-1)--ln(x-1)≥0恒成立.
F´
(x)=1-=-(x≥2).
①若n为偶数,∵x≥2,∴≥0,1-x<-1<0,<0,->0,
所以:
当x≥2时,F´
(x)>0.∴F(x)min=F
(2)=(2-1)--ln(2-1)=0,所以:
当x≥2,且n为偶数时,F(x)=(x-1)--ln(x-1)≥0恒成立.
②若n为奇数,要证+ln(x-1)≤x-1,∵x≥2,∴<0,所以只需证:
ln(x-1)≤x-1(下略).
小结2:
含有正整数“n”的表达式的符号、数值判断,“对n分奇、偶讨论”是一种重要的方法.在数列中运用很多.
证法二:
∵当x≥2时,≤1,∴只需要证明1+ln(x-1)≤x-1.构造函数F(x)=(x-1)-[1+ln(x-1)],即F(x)=x-2-ln(x-1),则F´
(x)=(下略).
小结3:
证法一是直接作“差函数”(直接构造新函数),然后分奇、偶讨论;
证法二是先适当放缩,然后构造新函数.解题时,要有敏锐的观察力.
2.变形与整理
直接构造新函数F(x)=f(x)-g(x),来证明函数不等式f(x)≥g(x)时,目标是:
F(a)min≥0,从而F(x)≥0,所以:
f(x)≥g(x).但常常会出现下列几种异常情况:
①F´
(x)的符号无法判断,【F´
(x)的符号→F(x)的单调性→F(x)的极值】从而F(x)的极值无法求出;
②虽然F(x)的极值能够求出,但极值是关于参数a的表达式F(a),无法判断极值F(a)是大于0,还是小于0;
③直接构造的新函数F(x)=f(x)-g(x),其导函数F´
(x)非常复杂或根本无法求出.出现这种异常情况,表明所构造的新函数F(x),不适当.这时,需要对“函数不等式”重新整理后,再构造新函数F(x),如题2.注意下面的题目的求解方法.
那么怎样合理构造函数呢?
(1)抓住问题的实质,化简函数
1、已知是二次函数,不等式的解集是,且在区间上的最大值.
(1)求的解析式;
(2)是否存在自然数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?
若存在,求出所有的值;
若不存在,请说明理由。
(1)
(2)假设满足要求的实数存在,则,即有:
,即有:
构造函数
画图分析:
进而检验,知,所以存在实数使得在区间内有且只有两个不等的实数根。
点评:
本题关键是构造了函数,舍弃了原函数中分母问题得到了简化。
变式练习:
设函数,求已知当时,恒成立,求实数的取值范围。
24.已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:
.
(Ⅰ)依题意,函数的定义域为x>0.∴当a≤0时,的单调递增区间为.当a>0时,令>0,有所以函数的单调递增区间为令<0,有所以函数的单调递减区间为
(Ⅱ)设
∴∴当时,。
34.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在上的最大、最小值;
(Ⅱ)求的单调增区间;
(Ⅲ)求证:
时,在区间[1,+∞上,函数的图象总在函数的图象的下方.
(I)当时,,时,,故f(x)在[1,e]上是增函数.
∴f(x)max=f(e)=e2+1;
f(x)min=f
(1)=.
(II),由,∴,增区间为;
a<
0时,增区间为。
(III)设F(x)=x2+lnx-x3,则(x)=x+-2x2=.∵x>1,∴(x)<0,故F(x)在[1,+∞]上是减函数,又F
(1)=-<0,∴在[1,+∞]上,有F(x)<0,即x2+lnx<x3,故函数f(x)的图象在函数=x3的图象的下方.
(2)抓住常规基本函数,利用函数草图分析问题:
例:
已知函数的图像在点处的切线方程为
设
(1)求证:
当时,恒成立;
(2)试讨论关于的方程根的个数。
解证:
(1)
(2)方程从而
因为所以方程可变为
令,得:
当时,在上为增函数;
当时,在上为减函数;
当时,
又
所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示
①当即时,方程无解;
②当即时,方程一解;
③当即时,方程有2个根。
一次函数,二次函数,指对数函数,幂函数,简单的分式根式函数,绝对值函数的图象力求清晰准确,一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体,如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口,使问题简单化明确化。
已知平面向量=(,-1).=(,).
(1)证明⊥;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使=+(t2-3),=-k+t,⊥,试求函数关系式k=f(t);
(3)据
(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
解答:
(1)∵=×
+(-1)×
=0∴⊥.
(2)∵⊥,∴=0即[+(t2-3)]·
(-k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)]+t(t2-3)·
=0
∵=0,=4,=1,
∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=t(t2-3)
(3)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表:
t
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(t)
+
-
F(t)
↗
极大值
↘
极小值
当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=.
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-.
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,
可观察出:
(1)当k>或k<-时,方程f(t)-k=0有且只有一解;
(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解;
(3)当-<k<时,方程f(t)-k=0有三解.
【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径,方程根的个数与极值的正负有关。
(3)复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则,抓住函数的复合过程能够逐层分解。
已知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。
(1)求实数的值.
(2)若关于的方程有3个不同的实数解,求实数的取值范围.
(3)若函数的图像与坐标轴无交点,求实数的取值范围。
(1)利用得:
(2)因为
得列表得
因此有极大值极小值作出的示意图,
如图:
因为关于的方程有3个不同
的实数解,令即关于的方程
在上有3个不同的实数解,
所以的图像与直线在
上有3个不同的交点。
而的图像与的图像一致。
即
(3)函数的图像与坐标轴无交点,可以分以下2种情况:
①当函数的图像与轴无交点时,则必须有无解,而
函数的值域为所以
解得
②当函数的图像与轴无交点时,则必须有不存在,即或,有意义,所以,解得.
③由函数存在,可知有解,解得,故实数的取值范围为
复合函数尤其是两次复合,一定要好好掌握,构造两种函数逐层分解研究,化繁为简,导数仍然是主要工具。
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