高考数学一轮复习 课标通用 第七章不等式71不等式的性质与一元二次不等式学案理.docx

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高考数学一轮复习课标通用第七章不等式71不等式的性质与一元二次不等式学案理

§7.1　不等式的性质与一元二次不等式

考纲展示►　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．

2．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．

3．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

考点1　不等式的性质

1.两个实数比较大小的方法

答案：

（1）>　＝　<　

（2）>　＝　<

2．不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

a>b⇔________

⇔

传递性

a>b，b>c⇒________

⇒

可加性

a>b⇔________

⇔

可乘性

⇒________

注意c

的符号

⇒________

续表

性质

性质内容

特别提醒

同向可

加性

⇒________

⇒

同向同正

可乘性

⇒________

⇒

可乘方性

a>b>0⇔________（n∈N，n≥1）

a，b同

为正数

可开方性

a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）

答案：

bc　a＋c>b＋c　ac>bc　

acb＋d　ac>bd>0　an>bn

3．不等式的一些常用性质

（1）倒数的性质：

①a>b，ab>0⇒________.

②a<0

③a>b>0,0

④0

（2）有关分数的性质：

若a>b>0，m>0，则

①<；>（b－m>0）．

②>；<（b－m>0）．

答案：

（1）①<　②<　③>　④<　<

不等式性质的两个易错点：

不等号的传递性；可乘性．

（1）若a＞b，b≥c，则a与c的大小关系是________．

答案：

a＞c

解析：

由a＞b，b≥c，得a＞c.

（2）若a＞b，则ac与bc的大小关系是________．

答案：

不确定

解析：

若c＞0，则ac＞bc；若c＜0，则ac＜bc；若c＝0，则ac＝bc.

1.比较两个数大小的方法：

差值法；商值法．

（1）若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________．

答案：

<

解析：

∵a>b，∴b－a<0，

又ab>0，∴－＝<0，即<.

（2）1618与1816的大小关系是________.

答案：

1618＞1816

解析：

＝＝16·162

＝16·28＝8·28＝8＞1，

故1618＞1816.

2．不等式性质的两个应用：

确定取值范围；求最值.

（1）若－<α<β<，则α－β的取值范围为________．

答案：

（－π，0）

解析：

因为－<α<，－<－β<，

所以－π<α－β<π.

又α<β，所以α－β<0，所以－π<α－β<0.

（2）若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．

答案：

27

解析：

由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，可得2≤≤27，故的最大值是27.

[典题1]　

（1）已知a1，a2∈（0,1），记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．MN

C．M＝ND．不确定

[答案]　B

[解析]　M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）

＝a1a2－a1－a2＋1＝（a1－1）（a2－1），

又∵a1∈（0,1），a2∈（0,1），

∴a1－1<0，a2－1<0，

∴（a1－1）（a2－1）>0，即M－N>0，∴M>N.

（2）如果a

A.

C．－ab<－a2D．－<－

[答案]　D

[解析]　解法一（性质判断）：

对于A项，由a0，ab>0，故－＝>0，>，故A项错误；

对于B项，由a0，ab>b2，故B项错误；

对于C项，由a0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；

对于D项，由a0，故－－＝<0，－<－成立，故D项正确．

解法二（特殊值法）：

令a＝－2，b＝－1，

则＝－>＝－1，ab＝2>b2＝1，

－ab＝－2>－a2＝－4，－＝<－＝1.故A，B，C项错误，D项正确．

（3）已知－1

[答案]　（－4,2）　（1,18）

[解析]　∵－1

∴－3<－y<－2，∴－4

由－1

∴1<3x＋2y<18.

[题点发散1]　将本例（3）条件改为“－1

解：

∵－1

∴－3<－y<1，∴－4

又∵x

由①②，得－4

故x－y的取值范围为（－4,0）．

[题点发散2]　若将本例（3）条件改为“－1

解：

设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），

则∴

即3x＋2y＝（x＋y）＋（x－y）．

又－1

∴－<（x＋y）<10,1<（x－y）<，

∴－<（x＋y）＋（x－y）<，

即－<3x＋2y<.

故3x＋2y的取值范围为.

[题点发散3]　已知函数f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，求f（－2）的取值范围．

解：

由题意知，f（－1）＝a－b，f

（1）＝a＋b，

f（－2）＝4a－2b.

设m（a＋b）＋n（a－b）＝4a－2b，

则解得

∴f（－2）＝（a＋b）＋3（a－b）＝f

（1）＋3f（－1）．

∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤f（－2）≤10.

故f（－2）的取值范围为[5,10]．

[点石成金]　1.判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

2．在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

3．由a

考点2　一元二次不等式的解法

三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

（a＞0）的根

有两相异实

根x1，x2

（x1＜x2）

有两相等实

根x1＝x2＝

－

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

（a＞0）的解集

________

________

________

ax2＋bx＋c＜0

（a＞0）的解集

________

________

________

答案：

　　R

{x|x1＜x＜x2}　∅　∅

（1）[教材习题改编]不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．

答案：

{x|－2≤x≤1}

解析：

原不等式可化为x2＋x－2≤0，方程x2＋x－2＝0的根为－2,1，因此不等式－x2－x＋2≥0的解集是{x|－2≤x≤1}．

（2）[教材习题改编]某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是________台．

答案：

150

解析：

根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，

整理得x2＋50x－30000≥0，

解得x≥150或x≤－200（舍去），

即生产者不亏本的最低产量为150台.

解不等式的两个易错点：

二次项系数为负；二次项系数为0.

（1）不等式x（1－2x）＞0的解集是________；

答案：

解析：

由不等式x（1－2x）＞0，得不等式x（2x－1）＜0，解得0＜x＜.

（2）不等式（ax－1）（x－2）＜0（a≤0）的解集是________．

答案：

当a＜0时，；当a＝0时，{x|x＞2}

解析：

当a＜0时，不等式（ax－1）（x－2）＜0可化为（x－2）>0，解得x>2或x<；当a＝0时，不等式（ax－1）（x－2）＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.

[典题2]　

（1）已知函数f（x）＝则不等式f（x）＞3的解集为________．

[答案]　{x|x>1}

[解析]　由题意知，

或

解得x＞1.

故原不等式的解集为{x|x＞1}．

（2）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）．

[解]　原不等式可化为ax2＋（a－2）x－2≥0.

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，

解得x≤－1；

②当a＞0时，原不等式化为（x＋1）≥0，解得x≥或x≤－1；

③当a＜0时，原不等式化为（x＋1）≤0.

当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；

当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；

当＜－1，即－2

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a＞0时，不等式的解集为{x；

当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x；

当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；

当a＜－2时，不等式的解集为{x.

[点石成金]　1.解一元二次不等式的一般步骤是：

（1）化为标准形式；

（2）确定判别式Δ的符号；（3）若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；（4）结合二次函数的图象得出不等式的解集．

2．含有参数的不等式的求解，往往需要比较（相应方程）根的大小，对参数进行分类讨论：

（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；

（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式.

1.[2017·辽宁大连模拟]已知函数f（x）＝（ax－1）（x＋b），如果不等式f（x）＞0的解集是（－1,3），则不等式f（－2x）＜0的解集是（　　）

A.∪

B.

C.∪

D.

答案：

A

解析：

由f（x）＞0，得ax2＋（ab－1）x－b＞0，

又其解集是（－1,3），

∴a＜0，且

解得a＝－1或（舍去），

∴a＝－1，b＝－3.

∴f（x）＝－x2＋2x＋3，

∴f（－2x）＝－4x2－4x＋3，

由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，

解得x＞或x＜－，故选A.

2．解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0（k∈R）．

解：

①当k＝0时，不等式的解为x＞0.

②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，

不等式的解为＜x＜；

若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．

③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，

即－1＜k＜0时，

不等式的解为x＜或x＞；

若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；

若Δ＝0，