角平分线与角的对称性Word下载.docx
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当角平分线构成的等量关系和“等腰三角形”结合的时候,可以利用等腰三角形“三线合一”.
（二）例题
例1已知:
如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°
BD为∠B的平分线,
图1
求证:
BC=BD+AD
设计思路:
这道题要利用角平分线构造轴对称图形,截长补短是常用辅助线,可以借助这道题感受作辅助线的意义.
分析:
容易想到在BC上截BE,使BE=BD,再来证明AD=EC．由已知可得∠DBC=20°
∠DCE=40°
连结DE,那么∠DEB=（180°
-20°
）÷
2=80°
得DE=EC.只需证明DE=AD.观察图形,可以在BC上截BF=BA,便构造出△BDF与△BDA全等,得DF=AD,接下来再证明DF=DE即可.
证明:
在BC上取E、F,使BE=BD,BF=BA,连结DF、DE.
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=100°
∴∠ABC=∠C=（180°
-100°
）÷
2=40°
.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠FBD=20°
又BD=BD,BA=BF,
∴△ABD≌△FBD.
∴DF=AD,∠BFD=∠BAD=100°
.
∴∠DFE=180°
=80°
∵BD=BE,
∴∠DEF=（180°
2=80°
∴∠DFE=∠DEF.
∴DE=DF=AD.
∵在△DEC中,∠EDC=80°
-40°
=40°
∴∠EDC=∠C.
∴DE=EC,
∴AD=EC.
∴BC=BE+EC=BD+AD.
点拨:
这道题需要利用割补法,构造另一个三角形与之全等,再利用全等三角形对应元素相等的性质,证得命题成立.
例2如图1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,从△ABC两顶点B、C分别向∠BAC的平分线作垂线BE和CF,垂足分别是E、F,又BC的中点为P.
∠PEF=∠PFE.
设计思路:
融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形.
在这道题中,CF、BE分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段,“垂直”和“角平分线”都是构造轴对称图形的基本元素.因此只要分别延长CF、延长BE都可构造轴对称图形.在得到的轴对称得到了中点,点F、E、P分别是所在线段中点,因此再用中位线即可得到平行关系,最后利用平行关系代换等角即可得证.
延长CF交AB于N,延长BE交AC延长线于M.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠3=∠4.
在△ANF和△ACF中,
∵AF⊥CN,得∠AFN=∠AFC=90°
又AF=AF,
∴△ANF≌△ACF.
∴NF=CF,同理可得BE=ME.
∵点P是BC中点,
∴PF、PE分别为△CNB和△BCM的中位线.
∴PF∥BN,即PF∥AB,
∴∠1=∠3.
同理,PE∥CM,即PE∥AC.
∴∠2=∠4.
∴∠1=∠2,即∠PEF=∠PFE.
观察图形中的“垂直”和“角平分线”,这些都是构造轴对称图形的基本元素,在轴对称图形中我们可以利用对应线段等、角等的关系进行等量代换.
例3（09海淀二模）△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若
＜∠PBC＜180°
，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD=°
；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
加入旋转,使得这道题目中的对称性不是那么好找了,但如果有前面的铺垫,这道题可以很好的使学生体会角平分线的作用.
分析：
由于∠BPD并不在一个特殊三角形中，直接求它的度数是很困难的，因此想到可以转移角，它所在的△BPD各个角中，只有∠PBD由于BD是∠PBC角平分线的缘故与其它角有等量关系，因此这就是这道题的突破口.当角平分线与“三角形”结合时，可以构造轴对称图形,容易想到连接CD,接下来再结合边的等量关系证明全等即可.
图2-1
解：
（1）∠BPD=30°
.
（2）如图2-1，连结CD．
解法一：
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠1=∠2．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°
．
∵BP=BA，
∴BP=BC．
∵BD=BD，
∴△PBD≌△CBD．
∴∠BPD=∠3．
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，
∴△BCD≌△ACD．
∴
．
∴∠BPD=30°
解法二：
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=AC．
∵DB=DA，
∴CD垂直平分AB．
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称．
（3）∠BPD=30°
或150°
．
图3-2
图3-1
图形见图3-1、图3-2．
当我们遇到题目当中有很多等量关系的情况时,需要找到架接等量关系的桥梁,在这道题目中,有三组等量关系:
关于等边△ABC的,关于BP=BA的,关于DA=DB的,而找到AB这座“桥”却是很重要的,它是等量代换的重要元素.另外,在第三问画图时,需要注意全面考虑点P、点D的可能性.有规律的是,点D一定在线段AB的垂直平分线上.
例4（08上海）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．
（1）如图1，当CE=
时，求线段BG的长；
（2）当点O在线段BC上时，设
，BO=y，求y与x的函数解析式；
（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．
到了例4,构造轴对称图形已经不是难度,而需要适度提升找数量关系的难度.
在这道题目中,有这样的字眼:
E是“射线”CD上的动点，这本身就意味着关于点E的位置是由两种可能性的,需要依题意探究位置可能性.第
（1）问可以直接从CE入手,自然得到DE的长,用相似得BG长度.第
（2）问中的x就比较不常规,是比值的形式,但线段量的关系一直用比表示,并不便利,因此可以将一条线段长用含x和另一条线段长的式子来表示.接下来,将BO代换到角平分线的另一边,就可以把x、y都放到一组相似三角形中去了.第（3）问显然要结合点E的位置进行讨论.
（1）在边长为2的正方形
中，
，得
，
又∵
，即
∴△ADE∽△GCE,
∴
∵
（2）当点
在线段
上时，过点
作
，垂足为点
为
的角平分线，
，
在正方形
∵在Rt△ABG中,AB=2,BG=2+2x,∠B=90°
易证△FOG∽△BAG,
得
（3）当
时，
①当点
上时，如图3-1,即
，由
（2）得
②当点
延长线上时,如图3-2，
CE=4,ED=DC=2,
在Rt△ADE中,AE=
设
交线段
于点
是
的平分线，即
找到边的关系是这道题的关键,可利用的条件很多,有相似、角平分线性质、勾股定理和正方形性质,只要找到中心量，用它将需要的线段表示出来就可以了。
（三）练习
练习1.（09嘉兴中考）如图，等腰△ABC中，底边
的平分线交AC于D，
的平分线交BD于E，设
，则
（ ）A
A．
B．
C．
D．
练习2．（09陕西）如图，在锐角
的平分线交
分别是
和
上的动点，则
的最小值是___________．4
练习3.如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于点F,连接AF。
∠BAF=∠ACF.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF是AD的垂直平分线,
∴FA=FD.
∴∠FAD=∠FDA.
又∠ACF=∠FDA+∠CAD,∠BAF=∠FAD+∠BAD,
∴∠ACF=∠BAF.
练习4.已知,如图,△ABC中，∠ABC=3∠C,AE平分∠BAC,BE⊥AE于E.
求证：
AC-AB=2BE.
延长BE交AC于点F.
∵AE平分∠BAC
∴∠1=∠2.
又∵∠AEB=∠AEF=90°
AE=AE.
∴△ABE≌△AFE.
∴AB=AF,∠3=∠4,BE=FE.
∵∠ABC=3∠C,又∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5=∠C+∠5+∠C=2∠C+∠5.
∴3∠C=2∠C+∠5.
∴∠C=∠5.
∴BF=FC.
∴AC-AB=AF+FC-AB=FC=BF=2BE.
∴AC-AB=2BE.
练习5.（09宣武二模）如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
四边形DECF为菱形．
证明：
证法一：
连结CD.
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形.
∵∠CAB、∠ABC的平分线交于点D,
∴点D是△ABC的内心.
∴CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
∵DF∥BC,
∴∠FDC＝∠ECD，
∴∠FCD＝∠FDC
∴FC＝FD，
∴平行四边形DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·
DH=CF·
DI，
∴CE=CF．
∴平行四边形DECF为菱形．
（四）总结
角平分线所在直线是角的对称轴,利用这个特点构造和利用轴对称图形是我们的常用思路,本节课通过一系列提升例题、练习题可以培养学生观察图形，构造对称的能力.
（五）反思
虽然本节课列举了一些轴对称图形的构造情况以及基本方法,但仍不可能盖全,应该让学生从根本的图形关系上掌握这种构造技巧.
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