高三数学复数的运算2Word格式文档下载.docx

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2.培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法，培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.

3.培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.

教学重点

复数的代数形式、乘法运算法则、in的周期性变化、1的立方虚根ω的性质是本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁.

教学难点

复数的代数形式的乘法运算法则的规定、in的周期性规律、ω的性质是教学的难点.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生掌握两个多项式的乘法运算法则，“a+b”问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜想，让学生主动建构复数的代数形式的乘法运算法则.继续让学生建构z=｜｜2=｜｜2和复数乘法运算所满足的交换律、结合律和分配律.

教具准备

实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）.

教学过程

Ⅰ.课题导入

我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同学们都说可以把加法运算看作是关于i的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数的代数形式的乘法（课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加”修改为“乘”，这样既使学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极性，为积极主动建构新知识而作好准备）.

Ⅱ.讲授新课

（一）知识建构

［师］初中学习了多项式乘以多项式，你们能把（a+b）（c+d）化简吗（a、b、c、d是有理数）？

积还是无理数吗？

［生］按多项式乘法运算法则展开即可.（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd·

·

=（ac+2bd）+（ad+bc）.

∵a、b、c、d∈Q,∴ac,2bd,ad,bc都是有理数.

∴ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数，

∴（a+b）（c+d）是无理数.

［师］若将“”换为“i”，其中i是虚数单位，能化简吗?

（a、b、c、d都是实数）

［生］可以.∵（a+bi）（c+di）=ac+adi+bci+bdi2=（ac-bd）+（ad+bc）i.（∵i2=-1,∴才能合并）

∵a、b、c、d∈R，

∴ac-bd∈R,ad+bc∈R.

∴（ac-bd）+（ad+bc）i是复数.

［师］这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi,z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

［师］实数的乘法满足哪些运算律？

复数中能类比吗？

［生］实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1、z2、z3∈C,

有

（1）z1·

z2=z2·

z1,

（2）（z1·

z2）·

z3=z1·

（z2·

z3）,

（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3.

［师］完全正确，你们能证明吗？

请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i（a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R）.

［生甲］∵z1z2=（a1+b1i）（a2+b2i）

=（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i,

z2z1=（a2+b2i）（a1+b1i）

=（a2a1-b2b1）+（b2a1+a2b1）i,

又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1,

∴z1z2=z2z1.

［生乙］∵（z1z2）z3=［（a1+b1i）（a2+b2i）］（a3+b3i）

=［（a1a2-b1b2）+（b1b2+a1b2）i］（a3+b3i）

=［（a1a2-b1b2）a3-（b1a2+a1b2）b3］+［（b1a2+a1b2）a3+（a1a2-b1b2）b3］i

=（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3）i,

同理可证z1（z2z3）=（a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3）+（b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3）i,

∴（z1z2）z3=z1（z2z3）.

［生丙］∵z1（z2+z3）=（a1+b1i）［（a2+b2i）+（a3+b3i）］

=（a1+b1i）［（a2+a3）+（b2+b3）i］

=［a1（a2+a3）-b1（b2+b3）］+［b1（a2+a3）+a1（b2+b3）］i

=（a1a2+a1a3-b1b2-b1b3）+（b1a2+b1a3+a1b2+a1b3）i,

z1z2+z1z3=（a1+b1i）（a2+b2i）+（a1+b1i）（a3+b3i）

=（a1a2-b1b2）+（b1a2+a1b2）i+（a1a3-b1b3）+（b1a3+a1b3）i

=（a1a2-b1b2+a1a3-b1b3）+（b1a2+a1b2+b1a3+a1b3）i

∴z1（z2+z3）=z1z2+z1z3.

（学生板演时，教师在教室内巡回指导，与学生共同研究）

［师］同学们，这三位同学证明的是否正确？

［生］（众生齐声回答）正确！

［师］若复数z=a+bi（a、b∈R）,求z.

［生］=a-bi,∴z=（a+bi）（a-bi）=a2-b·

（-b）+［a（-b）+b·

a］i=a2+b2+0·

i=a2+b2.∴z=a2+b2.

［师］由z·

=a2+b2,你们能想到什么？

［生a］a2+b2是z的模的平方，可以得到·

z=｜z｜2.

［生b］｜z｜2=z2.

［生c］不对.z2=（a+bi）2=a2-b2+2abi,而｜z｜2=a2+b2,∴｜z｜2≠z2.

［生d］的模是,∴z=a2+b2,也是的模的平方，即z·

=｜z｜2=｜z｜2.

［生e］对于实数a、b,a2+b2在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有a2+b2=（a+bi）（a-bi），其中i是虚数单位.

［生f］两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.

……

［师］同学们联想的这些内容都是对的.

一般地，两个互为共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·

=｜z｜2=｜｜2.

通常也可以写成｜z｜=｜｜=.这个公式很重要，在复数的计算、证明时经常用到，所以我们要熟练地掌握.

对于上述命题的逆命题是否成立呢？

［生g］成立.因为a2+b2=（a+bi）（a-bi）=z·

.

［生h］不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例如，z1=i,z2=-2i,z1z2=i·

（-2i）=-2i2=-2×

（-1）=2＞0.但z1和z2不是共轭复数.

［师］由于复数乘法运算满足交换律与结合律，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？

［生i］实数集中，有am·

an=am+n;

（am）n=amn;

（a·

b）m=am·

bm.在复数集C中，对任何z、z1、z2∈C,都有zm·

zn=zm+n,（zm）n=zmn,（z1·

z2）m=z1m·

z2m.

［生j］上述推广中幂指数m、n必须满足m、n∈N*.

［师］这三条的证明思想是什么？

［生k］根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证.

［生i］也可以使用数学归纳法进行证明.

［师］这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略.

我们知道i1=i,i2=-1,请问i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12分别为什么？

［生m］分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1.

［师］从这些数中你能总结出什么规律？

［生n］数列｛in｝是周期数列，最小周期是4,即如果n∈N*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.

［师］如果n是整数0时，是否成立？

（片刻，学生开始讨论）

［生o］成立.因为i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=-i,

［师］如果n是负整数时，上述结论还成立吗？

［生P］不成立.因为i-1没有定义,所以无法推广.

［生Q］成立.取n=-m（m∈N）,则

i4n=i-4m===1,

i4n+1=i-4m+1===i,

i4n+2=i-4m+2===-1,

i4n+3=i-4m+3===-i.

所以n是负整数时，关于in的结论也成立.

［师］由上面讨论,知对一切n∈Z,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i都成立.

［师］前面我们证明过：

=+,由这个等式你能类比到乘法上去吗？

为什么？

［生r］可以类比，对于乘法有

=·

事实上，设z1=a1+b1i,z2

=a2+b2i（a1、a2、b1、b2∈R），

z1z2=（a1+b1i）（a2+b2i）

=（a1a2-b1b2）+（a1b2+b1a2）i.

∴=

=（a1a2-b1b2）-（a1b2+b1a2）i.

又∵=（a1-b1i）（a2-b2i）

=［a1a2-（-b1）·

（-b2）］+［a1·

（-b2）+（-b1）a2］i

=（a1a2-b1b2）+（-a1b2-b1a2）i

=（a1a2-b1b2）-（a1b2+b1a2）i,

∴=·

［师］这个公式能否推广呢？

［生s］可以.z1,z2,…,zn∈C,则=·

…·

zn.

［师］z1、z2∈R,｜z1z2｜与｜z1｜·

｜z2｜有何关系？

（讨论一会儿，开始写写画画）

［生t］｜z1z2｜=｜z1｜·

｜z2｜.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i（a1、a2、b1、b2∈R）,

∴z1z2=（a1a2-b1b2）+（a1b2+b1a2）i.

∴｜z1z2｜=

=.

又｜z1｜·

｜z2｜=

=

=,

∴｜z1z2｜=｜z1｜·

｜z2｜.本结论也可以推广到一般形式：

z1,z2,z3,…,zn∈C,则｜z1·

z2·

zn｜=｜z1｜·

｜z2｜·

｜zn｜.

特殊情况：

z1=z2=…=zn=z时，｜zn｜=｜z｜n,即z的乘方的模等于模的乘方.

（二）课本例题

［例2］（课本P206）计算（1-2i）（3+4i）（-2+i）.

［生］解：

原式=［（3+8）+（4-6）i］（-2+i）=（11-2i）（-2+i）=（-22+2）+（11+4）i=-20+15i.

［例3］设ω=-+i,求证：

（1）1+ω+ω