高一数学函数的对称性与周期性2Word文档下载推荐.docx

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已知对于任意的都有f（a+）=f（b－）=

令a+=,b－=

则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f（x）上的点

　　　显然，两点是关于x=对称的。

　　　反之，若已知函数关于直线x=对称，

　　　在函数y=f（x）上任取一点Ｐ（）那么（）

关于x=对称点（a+b－,）也在函数上

故f（）=f（a+b－）f（a+（-a））=f（b-（-a））

所以有f（a+x）=f（b－x）成立。

推论1：

函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a－x）即f（x）=f（2a－x）

推论2：

函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（－x）

结论3.①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a,c）和点B（b,c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f（x）图像既关于点A（a,c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f（x）图像既关于点A（a,c）成中心对称，

∴f（x）+f（2a－x）=2c，用2b－x代x得：

f（2b－x）+f[2a－（2b－x）]=2c………………（*）

又∵函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，

∴f（2b－x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c－f[2（a－b）+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2（a－b）+x]=2c－f[4（a－b）+x]代入（**）得：

f（x）=f[4（a－b）+x],故y=f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二．不同函数的对称性结论

结论4.函数y=f（x）与y=2b－f（2a－x）的图像关于点A（a,b）成中心对称。

结论5.①函数y=f（x）与y=f（2a－x）的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f（x）与a－x=f（a－y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f（x）与x－a=f（y+a）的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P（x0,y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。

记点P（x,y）关于直线x－y=a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f（x0）之中得x1－a=f（a+y1）∴点P‘（x1，y1）在函数x－a=f（y+a）的图像上。

同理可证：

函数x－a=f（y+a）的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图像上。

故定理5中的③成立。

函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

三．三角函数图像的对称性

函数

对称中心坐标

对称轴方程

y=sinx

（kπ,0）

x=kπ+π/2

y=cosx

（kπ+π/2,0）

x=kπ

y=tanx

（kπ/2,0）

无

注：

上表中k∈Z

举例

例1：

定义在R上的非常数函数满足：

f（10+x）为偶函数，且f（5－x）=f（5+x）,则f（x）一定是（）

（A）是偶函数，也是周期函数（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数（D）是奇函数，但不是周期函数

解：

∵f（10+x）为偶函数，∴f（10+x）=f（10－x）.

∴f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。

故选（A）

例2：

设定义域为R的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x－1）和g-1（x－2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（）。

（A）1999；

（B）2000；

（C）2001；

（D）2002。

∵y=f（x－1）和y=g-1（x－2）函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1（x－2）反函数是y=f（x－1），而y=g-1（x－2）的反函数是:

y=2+g（x）,∴f（x－1）=2+g（x）,∴有f（5－1）=2+g（5）=2001故f（4）=2001,应选（C）

例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1－x）,当－1≤x≤0时，f（x）=－x，则f（8.6）=_________

∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f（x）对称轴；

又∵f（1+x）=f（1－x）∴x=1也是y=f（x）对称轴。

故y=f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（－0.6）=0.3

例4.函数y=sin（2x+）的图像的一条对称轴的方程是（）

（A）x=－（B）x=－（C）x=（D）x=

函数y=sin（2x+）的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+

∴x=－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选（A）

例5．求证:

若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。

证:

为奇函数-=

2=0即=0是方程=0的根

若是=0的根，即=0由奇数定义得=0

也是方程的根即方程的根除=0外成对出现。

方程根为奇数个。

练习：

1．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=－f（x）,当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（）

（A）0.5（B）－0.5（C）1.5（D）－1.5

∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f（x+2）=－f（x）=f（－x），即f（1+x）=f（1－x），∴直线x=1是y=f（x）对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数。

∴f（7.5）=f（8－0.5）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5故选（B）

2．知函数y=f（x）对一切实数x满足f（2-x）=f（4+x），且方程f（x）=0有5个实根，则这5个实根之和为（ 

C）

A、5 

B、10 

C、15 

D、18

3．是周期为2的奇函数，当时，则

（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）

已知是周期为2的奇函数，当时，

设，，<

0，∴，选D.

4．定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于（B）

A.-1B.0C.1D.4

5．用min{a,b}表示a，b两数中的最小值。

若函数f（x）=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=对称，则t的值为（）

A．-2B．2C．-1D．1

6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，

则f（2010）的值为（B）

A.-1B.0C.1D.2

解析由已知得,,,

,

,,

所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现.,所以f（2010）=f（6）=0,故选C.

7．．定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）

A．5B．4C．3D．2

解析：

由的周期性知，

即至少有根1，2，4，5。

故选择B。

8．设函数y=f（x）的定义域为R，且满足f（x+1）=f（1-x），则y=f（x+1）的图象关于___y___对称。

y=f（x）图象关于__x=1_对称。

9．设y=f（x）的定义域为R，且对任意x∈R，有f（1-2x）=f（2x），则y=f（2x）图象关于__________对称，y=f（x）关于__________对称。

10．设函数y=f（x）的定义域为R，则下列命题中，①若y=f（x）是偶函数，则y=f（x+2）图象关于y轴对称；

②若y=f（x+2）是偶函数，则y=f（x）图象关于直线x=2对称；

③若f（x-2）=f（2-x），则函数y=f（x）图象关于直线x=2对称；

④y=f（x-2）与y=f（2-x）图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为___②④____。

11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）+f（5）=_______________.

【考点分析】本题考查函数的周期性

得，假设

因为点（，0）和点（）关于对称，所以

因此，对一切正整数都有：

从而：

。

本题答案填写：

12．函数对于任意实数满足条件，若则__________。

【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。

由得，所以，则。

【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。

本题应直观理解“只要加2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。

13．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.

答案：

f（2k-1）=0，k∈Z.又可作一个函数满足问题中的条件，且的

一个零点恰为，k∈Z.所以至少有50个零点.

14．设f（x）=，又记f1（x）=f（x）,,k=1,2,……则=

，，据此，，，因2010为4n+2型，故选.

15．已知偶函数y=f（x）定义域为