《信号检测与估计》第九章习题解答Word下载.docx
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Axf00
0220
02
0002202
00sinsin21sinsin21sin1,θωθωθωθωθωθ
由于(((∫=+−=∫+T
Tdttdtt000
022
2cos121sinθωθω,得到((((0
20000
20
2sin21,NT
AdtttxNAdt
txNee
AxfTT
−+−
∫
∫=θωθ
对θ积分,得到
(((((((((θ
π
θ
πθ
θθπ
θωθωπ
θωπ
de
e
deeFe
dfAxfAxfdttttxNANTAdttxNdtttxNANTAdttxNT
∫∫∫
∫∫∫+−
−
+−
−===
coscossinsin22120sin221
200
0000
00020
202121,
令(ϕωcoscos00zdtttxxT
c==∫,(ϕωsinsin00zdtttxxT
s==∫,得到
222sc
xxz+=,c
s
xxarctg=ϕ(((((⎟⎟⎠
⎜⎜⎝⎛==
==
∫∫
−+++0020
cos220
coscossinsin220cossin220
coscossinsin22212121210
000NAzIde
dede
NAz
zzNA
xxNA
dttttxNAcsT
θπ
πθπ
ϕθπ
θϕθϕπ
θωθω上式中,
[](cosexp210
xIdx=∫π
为零阶修正贝塞尔函数。
得到
(((((⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛==−
002120
coscossinsin2212210
2
2020
NAzIe
AxfNT
AdttxNdttttxNANTAdttxNT
θωθω(0>
z
((⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−∫−=00020202ln21lnlnNAzINT
AdttxNFAxfT振幅A的最大似然估计量必须满足下列方程
((02lnlnˆ0
00ˆ=−∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂=∂∂==A
AA
ANAT
ANAzIA
Axf
9.2接收信号(([](tntAtx+−+=τω0cos1,其中(tn是功率谱密度为2
N的高斯白噪声。
求信号时延τ的Bayes估值。
0ω、A皆为已知常量。
略
9.3接收信号(((tntstx+−=τ,其中τ是信号(ts到达的时延,(tn是功率谱密度为2
N的高斯白噪声,(ts的表达式为
((((⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎨⎧+≤<
+≤
<
−−≤≤+−+=000000
00
122cos122212cos1ωπωπωωπωπωπωπωmtmtAmtmAmtmtAts(试证明时延τ的无偏估计量的方差为(2
02ˆ/243ωστNEm
+≥
。
其中E为信号能量。
9.4接收信号(((tntstx+=,(ts的到达有时延τ,求时延τ的无偏估计量τˆ的最小方差。
其中(tn是功率谱密度为
N的高斯白噪声,(ts如图题9.4所示。
解:
由(ts信号图可知,梯形信号由宽度为Δ的上升沿、下降沿和宽度为L的平顶三部分组成,表
达式为
(⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧+>
+≤≤⎟
⎠⎞⎜⎝⎛−−−≤≤−−
≤≤⎟⎠
⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++=Δ
ΔΔΔΔΔΔ2
022222222LtLtLLtALtLALtLLtAts(tx的似然函数为
图题9.4
((([]
∫−−−−
=2
/2/2
1TTdt
tstxNFe
xfττ
上式中,
Δ+=2
2L
T((([]∫−−−
=−2/2/2
1lnlnTTdttstxNFxfττ((([](∫∂−∂−−=
∂∂−2
/2/0
2lnTTdttststxNxfττττ
τ根据克拉美—罗不等式,时延τ的无偏估计量τˆ的最小方差为
[](([](⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂−−=
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂≥
−22/2/0221
ln1
ˆTTdttststxNExfEVarττταττ(
由于(((tntstx=−−τ,代入上式得
(([](((((((((([](((((dttsNdudt
usutNtsNdudtusuntnEtsNduusundttstnENdttstnNEdttststxNETTTTTTTTTTTTTTTTTT∫
∫∫−−−−−−−−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∂−∂=∂−∂−∂−∂=∂−∂∂−∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∫∂−∂∫∂−∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂−−2
/2
2/2/2/2/0
2/2/2/2/202/2/2/2/202
2244422ττττδτττττττττττττττ不是一般性,令0=τ得到
(([]((Δ
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ−−Δ−∂∂
+⎟⎠
⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ++Δ∂∂=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂−−∫
∫Δ
+−−Δ−−−−02
2/2
4222222
2NALtAtNtANdtLtAtNdtttsNdtttststxNELLLLLLTTTTττ
得到τˆ的最小方差为
[]2024ln1
ˆA
NxfEVarΔ
αττ=
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
(