全国校级联考辽宁省沈阳市郊联体学年高二上学期期末考试数学理试题解析版Word下载.docx

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【解析】“命题”的否定是“”，即选项A错误；

命题“已知，若且，则”是真命题，所以其逆否命题“已知，若，则或“是真命题，即选项B正确；

故选B.

3.直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【解析】因为，即点在抛物线上，所以过点且与抛物线相切时或过点与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线只有一个公共点，即这样的直线只有两条；

故选C.

点睛：

本题考查直线和抛物线的位置关系，解决本题的关键在于先要验证点是否在抛物线上，验证完再利用抛物线的图象和几何性质进行处理，而与抛物线的对称轴平行的直线是学生容易忽视的知识点.

4.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）

【解析】因为双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，即，即，即该双曲线的离心率为；

本题考查双曲线的标准方程和几何性质；

在由双曲线方程写其渐近线方程时，往往先判定该双曲线的焦点所在坐标轴，是哪种标准方程，比较麻烦；

可记住一些结论，如：

双曲线的渐近线方程为，以直线为渐近线的双曲线方程可设为.

5.已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）

【解析】记“其中一枚为五角硬币”为事件，“两枚都是五角硬币”为事件，则，，所以“已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币”的概率为；

6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入袋中的概率为（）

【解析】因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以；

7.展开式中的系数为（）

A.92B.576C.192D.384

【解析】展开式中含的项为，即的系数为576；

故选B.........................

本题考查二项式定理的应用；

求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路：

（1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；

（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将化成，再利用两次二项式定理进行求解.

8.设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（）

【解析】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；

9.我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（中用函数来产生的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计的近似值为（）

A.3.144B.3.154C.3.141D.3.142

【答案】A

【解析】根据函数的定义，得每次循环产生的是大小属于区间的三个随机数（可以看成在棱长为1的正方体内），而判断语句表示的在以原点为球心、半径为1的球内，由程序框图，得循环体共循环了1000次，输出，即随机数在八分之一球的内部的次数为524，由几何概型的概率公式，得，解得；

故选A.

10.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（）

【解析】设过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为，且与抛物线交于点，联立，

得，则，则或；

本题考查直线和抛物线的位置关系；

再处理直线与抛物线的位置关系时，往往设直线方程为的形式，这样可以避免讨论直线无斜率的情况，且联立方程组、整理方程时的运算量较小.

11.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则（）

A.-4B.C.4D.6

【解析】设，则，，

，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；

本题考查双曲线的弦的中点问题、直线的斜率公式；

在处理圆锥曲线的弦的中点问题时，往往利用点差法（将点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减）进行求解，运算量比联立方程小，但要注意验证直线和圆锥曲线是否相交.

12.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：

①②③④

其中正确的式子的序号是（）

A.②③B.①④C.①③D.②④

【解析】因为，所以，即①正确，由图可得，所以，即②错误；

由，得，即，即，即，即③错误，且，即④正确；

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为__________．

【答案】91

【解析】采用系统抽样的方法从全体2000个学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为.

14.在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为__________．

【答案】

【解析】因为该双曲线与椭圆有相同的焦点，所以以直线为一条渐近线的双曲线可设为，则，解得，即该双曲线的方程为.

本题考查双曲线和椭圆的几何性质；

已知双曲线的渐近线求双曲线方程时，往往要讨论双曲线的焦点在哪一条坐标轴上，比较麻烦，记住以下结论可避免讨论，以直线为渐近线的双曲线方程可设为，再利用所给条件进行求解.

15.如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是__________．

【解析】易知直线的方程为，直线的方程为，联立得，又，所以，，因为为钝角，所以，即，化简得，即，所以，解得或，又，所以.

求圆锥曲线的离心率的值或范围是常见题型，其主要方法有：

（1）直接利用离心率公式；

（2）利用变形公式：

在椭圆中，

在双曲线中，

（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同除以即可求解

16.过轴上定点的动直线与抛物线交于两点，若为定值，则__________．

【答案】-8

【解析】设直线，联立，得，设，则，则，同理，得，

则若

是与无关的定值，则，解得.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知，命题，命题已知方程表示双曲线．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．

（1）；

（2）．

【解析】试题分析：

（1）利用双曲线标准方程的特点进行求解；

（2）先利用真值表判定两个简单命题的真假，再利用数集间的运算进行求解.

试题解析：

（1）若为真命题时：

，∴，∴；

（2）若为真命题时：

，∴，

为真命题，为假命题，则一真一假，即

或，

解得或，∴的范围为．

18.高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：

）的茎叶图如下：

（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；

（2）从该班身高超过的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；

（3）在两组身高位于（单位：

）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于（单位：

）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

（1）答案见解析；

（2）；

（3）答案见解析.

（1）根据茎叶图中的数据写出各自中位数即可；

（2）利用组合数公式和对立事件的概率公式进行求解；

（3）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到其分布列，进而利用期望公式进行求解.

（1）第一组学生身高的中位数为，

第二组学生身高的中位数为；

（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件，

，

∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；

（3）的可能取值为0，1，2，3

，，

∴的分布列为

1

2

3

．

19.已知点与点的距离比它的直线的距离小2．

（1）求点的轨迹方程；

（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：

直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；

若不经过，说明理由．

（2）答案见解析.

（1）利用抛物线的定义进行求解；

（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解.

（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；

（2）法一：

由题意知直线的斜率显然不能为0，

设直线的方程为，联立方程

，消去，可得，

即，

由题意知，即，则，

∴，∵，∴，

∴直线的方程为，

∴直线过定点，且定点坐标为；

法二：

假设存在定点，设定点，

∵，∴，∴，

又∵在抛物线上，即代入上式，可得，∴，

又∵三点共线，∴，∴，

∴假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．

20.某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成三组，并作出如下频率分布直方图：

（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：

经济损失则取，且的概率等于经济损失落入的频率）。

现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为，求的分布列和数学期望．

（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过4000元

经济损失超过4000元

合计

捐款超过500元

30

捐款不超过500元

6

附：

临界值表参考公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

（