专题一 第2讲 基本初等函数函数与方程解析版.docx

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专题一第2讲基本初等函数函数与方程解析版

专题一第2讲　基本初等函数、函数与方程

【要点提炼】

考点一　基本初等函数的图象与性质

1．指数函数y＝ax（a>0，a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，a≠1）互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．

2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．

【热点突破】

【典例】1　

（1）已知f（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：

当|f（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f（x）|；当|f（x）|

A．有最小值－1，最大值1

B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

【答案】　C

【解析】　画出y＝|f（x）|＝|2x－1|与y＝g（x）＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f（x）|≥g（x），故h（x）＝|f（x）|；在A，B之间，|f（x）|

（2）已知函数f（x）＝ex＋2（x<0）与g（x）＝ln（x＋a）＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

A.B．（－∞，e）

C.D.

【答案】　B

【解析】　由题意知，方程f（－x）－g（x）＝0在（0，＋∞）上有解，

即e－x＋2－ln（x＋a）－2＝0在（0，＋∞）上有解，

即函数y＝e－x与y＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点．

函数y＝ln（x＋a）可以看作由y＝lnx左右平移得到，

当a＝0时，两函数有交点，

当a<0时，向右平移，两函数总有交点，

当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝lnx的图象向左平移到过点（0,1）时，两函数的图象在（0，＋∞）上不再有交点，

把（0,1）代入y＝ln（x＋a），得1＝lna，即a＝e，∴a

【方法总结】　

（1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0

当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0

（2）基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．

【拓展训练】1　

（1）函数f（x）＝ln（x2＋2）－ex－1的大致图象可能是（　　）

【答案】　A

【解析】　当x→＋∞时，f（x）→－∞，故排除D；函数f（x）的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f（0）＝ln2－e－1，由于ln2>ln＝，e－1<，所以f（0）＝ln2－e－1>0，故排除C.

（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝1－2－x，则不等式f（x）<－的解集是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－∞，－1]

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

【答案】　A

【解析】　当x>0时，f（x）＝1－2－x>0.

又f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（x）<－的解集和f（x）>的解集关于原点对称，由1－2－x>得2－x<＝2－1，

即x>1，则f（x）<－的解集是（－∞，－1）．故选A.

【要点提炼】

考点二　函数的零点

判断函数零点个数的方法：

（1）利用零点存在性定理判断法．

（2）代数法：

求方程f（x）＝0的实数根．

（3）几何法：

对于不易求根的方程，将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．

考向1　函数零点的判断

【典例】2　

（1）（2020·长沙调研）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2等于（　　）

A．2B．2或2＋

C．2或3D．2或3或2＋

【答案】　D

【解析】　当x≤0时，

f′（x）＝（x＋1）ex，

当x<－1时，f′（x）<0，

故f（x）在（－∞，－1）上单调递减，

当－10，

故f（x）在（－1,0]上单调递增，

所以x≤0时，f（x）的最小值为f（－1）＝－.

又当x≥1时，f（x）＝3－x，当0

作出f（x）的图象，如图所示．因为g（x）＝f（x）－m有两个不同的零点，所以方程f（x）＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f（x）的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，

由图可知1

若1

若m＝0，则x1＋x2＝3；

若m＝－，则x1＋x2＝－1＋3＋＝2＋.

（2）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝f（2－x），当x∈[－2,0]时，f（x）＝x－1，则关于x的方程f（x）－log8（x＋2）＝0在区间（－2,6）上根的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【答案】　C

【解析】　对于任意的x∈R，都有f（2＋x）＝f（2－x），

∴f（x＋4）＝f[2＋（x＋2）]＝f[2－（x＋2）]＝f（－x）＝f（x），

∴函数f（x）是一个周期函数，且T＝4.

又∵当x∈[－2,0]时，f（x）＝x－1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，

且f（6）＝1，则函数y＝f（x）与y＝log8（x＋2）在区间（－2,6）上的图象如图所示，

根据图象可得y＝f（x）与y＝log8（x＋2）在区间（－2,6）上有3个不同的交点，即f（x）－log8（x＋2）＝0在区间（－2,6）上有3个根．

【特点突破】

考向2　求参数的值或取值范围

【典例】3　

（1）已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是________．

【答案】　[－3,0）

【解析】　设t＝3－|x－2|（0

由题意知a＝t2－4t在（0,1]上有解，

又t2－4t＝（t－2）2－4（0

∴－3≤t2－4t<0，

∴实数a的取值范围是[－3,0）．

（2）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－2x恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为____________________．

【答案】　[－3，－1）∪[3，＋∞）

【解析】　由题意得g（x）＝

即g（x）＝

如图所示，

因为g（x）恰有两个不同的零点，

即g（x）的图象与x轴有两个交点．

若当x≤a时，g（x）＝x2＋4x＋3有两个零点，

则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，

则当x>a时，g（x）＝3－x没有零点，所以a≥3.

若当x≤a时，g（x）＝x2＋4x＋3有一个零点，

则当x>a时，g（x）＝3－x必有一个零点，

即－3≤a<－1，

综上所述，a∈[－3，－1）∪[3，＋∞）．

【方法总结】　利用函数零点的情况求参数值（或取值范围）的三种方法

【拓展训练】2　

（1）已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x）＝x2－3x（x≥0），若函数g（x）＝则y＝f（x）－g（x）的零点个数为（　　）

A．1B．3C．2D．4

【答案】　B

【解析】　作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f（x）－g（x）有3个零点．

（2）（多选）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，则a的值可能为（　　）

A．－6B．8C．9D．12

【答案】　CD

【解析】　当a≤0时，f（x）仅有一个零点x＝0，故f（f（x））＝0有8个不同的实根不可能成立．当a>0时，f（x）的图象如图所示，

当f（f（x））＝0时，f1（x）＝－2a，f2（x）＝0，f3（x）＝a.又f（f（x））＝0有8个不同的实根，故f1（x）＝

－2a有三个根，f2（x）＝0有三个根，f3（x）＝a有两个根，又x2－ax＝2－，所以－2a>－且a<2a，解得a>8且a>0，综上可知，a>8.

专题训练

一、单项选择题

1．（2020·全国Ⅰ）设alog34＝2，则4－a等于（　　）

A.B.C.D.

【答案】　B

【解析】　方法一　因为alog34＝2，

所以log34a＝2，

所以4a＝32＝9，

所以4－a＝＝.

方法二　因为alog34＝2，

所以a＝＝2log43＝log432＝log49，

所以4－a＝＝＝9－1＝.

2．函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点一定位于区间（　　）

A．（1,2）B．（2,3）C．（3,4）D．（4,5）

【答案】　B

【解析】　函数f（x）＝lnx＋2x－6在其定义域上连续且单调，

f

（2）＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0，

f（3）＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，

故函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点在区间（2,3）上．

3．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝2－ax和g（x）＝loga（x＋2）（a>0且a≠1）的大致图象可能为（　　）

【答案】　A

【解析】　由题意知，当a>0时，函数f（x）＝2－ax为减函数．若01，则函数f（x）＝2－ax的零点x0＝∈（0,2），且函数g（x）＝loga（x＋2）在（－2，＋∞）上为增函数．故A正确．

4．（2020·广东省揭阳三中模拟）已知a，b，c满足4a＝6，b＝，c3＝，则（　　）

A．a

C．c

【答案】　B

【解析】　4a＝6>4，a>1，b＝＝－2，c3＝<1,0c>b.

5．（2020·全国Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I（t）（t的单位：

天）的Logistic模型：

I（t）＝，其中K为最大确诊病典例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln19≈3）（　　）

A．60B．63C．66D．69

【答案】　C

【解析】　因为I（t）＝，

所以当I（t*）＝0.95K时，＝0.95K，

即＝0.95，

即1＋＝，

即＝－1，

∴＝19，

∴0.23（t*－53）＝ln19，

∴t*＝＋53≈＋53≈66.

6．（2020·泉州模拟）若函数y＝loga（x2－ax＋1）有最小值，则a的取值范围是（　　）

A．1

C．0

【答案】　A

【解析】　令u（x）＝x2－ax＋1，函数y＝loga（x2－ax＋1）有最小值，∴a>1，且u（x）min>0，∴Δ＝a2－4<0，

∴1

7．（2020·太原质检）已知函数f（x）＝

（e为自然对数的底数），若函数g（x）＝f（x）＋kx恰好有两个零点，则实数k等于（　　）

A．－2eB．eC．－eD．2e

【答案】　C

【解析】　g（x）＝f（x）＋kx＝0，即f（x）＝－kx，如图所示，画出函数y＝f（x）和y＝－kx的图象，

－2x2＋4x＋1＝－kx，

即2x2－（4＋k）x－1＝0，

设方程的两根为x1，x2，

则Δ＝（4＋k）2＋8>0，且x1x2＝－，

故g（x）在x<0时有且仅有一个零点，

y＝－kx与y＝f（x