版高中数学第一章常用逻辑用语23充要条件学案含答案北师大版选修11Word格式.docx
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p是q成立的必要不充分条件
p是q成立的充要条件
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法:
原命题和逆命题均为真命题,p才是q的充要条件.
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件
若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立}.
类型一 充要条件的判断
例1 下列各题中,p是q的什么条件?
(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p:
四边形的对角线互相平分,q:
四边形是矩形;
(2)p:
a2+b2=0,q:
a+b=0;
(3)p:
x=1或x=2,q:
x-1=;
(4)p:
sinα>
sinβ,q:
α>
β.
反思与感悟 充要条件的常用判断方法
(1)命题判断法:
设“若p,则q”为原命题,那么:
①原命题为真,逆命题为假时,p是q的充分不必要条件;
②原命题为假,逆命题为真时,p是q的必要不充分条件;
③原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;
④原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分又不必要条件.
(2)集合法:
若p与q确定的集合分别是A,B,则当且仅当A=B时,p是q的充要条件.
跟踪训练1
(1)“x>1”是“log(x+2)<0”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
(2)设x>
0,y∈R,则“x>
y”是“x>
|y|”的( )
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 探求充要条件
例2 求关于x的一元二次不等式ax2-ax+1-a>
0对于一切实数x都成立的充要条件.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件.
跟踪训练2 设a、b、c为△ABC的三边,求方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证:
一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<
0.
反思与感悟 一般地,证明“p成立的充要条件为q”,在证充分性时,应以q为“已知条件”,p是要证明的“结论”,即q⇒p;
证明必要性时,则是以p为“已知条件”,q是要证明的“结论”,即p⇒q.
跟踪训练3 求证:
一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
类型三 充分条件与必要条件的应用
例4 已知p:
3x+m<
0,q:
x2-2x-3>
0,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p,q确定的集合之间的包含关系,然后,构建满足条件的不等式(组)求解.同时要注意命题的等价性的应用.
跟踪训练4 已知p:
x≥k,q:
<
1,如果p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.[1,+∞)D.(-∞,-1]
1.“x2>
2017”是“x2>
2016”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.“a>
b”是“a>
|b|”的( )
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
3.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论中正确的是( )
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;
②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;
③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;
④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.
A.③B.①②C.①②③D.①②③④
4.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是________________.
5.已知p:
1.充要条件的判断有三种方法:
定义法、命题等价法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的,在证明时要注意两种叙述方式的区别:
①p是q的充要条件,则由p⇒q证的是充分性,由q⇒p证的是必要性;
②p的充要条件是q,则由p⇒q证的是必要性,由q⇒p证的是充分性.
(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;
如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立.
思考2 因为p⇒q且q⇒p,所以p是q的充分条件也是必要条件;
同理,q是p的充分条件,也是必要条件.
梳理 p⇔q 充分必要条件 充要条件
知识点二
1.p⇒q,但q⇒/p q⇒p,但p⇒/q p⇒q,q⇒p,即p⇔q p⇒/q,q⇒/p
题型探究
例1 解
(1)∵四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形,
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,
a+b=0D⇒/a2+b2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵当x=1或x=2成立时,可得x-1=成立,反过来,当x-1=成立时,可以推出x=1或x=2,
∴p是q的充要条件.
(4)由sinα>
sinβ不能推出α>
β,反过来由α>
β也不能推出sinα>
sinβ,∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.则p是q的既不充分又不必要条件.
跟踪训练1
(1)B [由x>1⇒x+2>3⇒<0,<0⇒x+2>1⇒x>-1,故“x>1”是“<0”成立的充分不必要条件.故选B.]
(2)C [当x=1,y=-2时,x>
y,
但x>
|y|不成立;
因为|y|≥y,所以若x>
|y|,则x>
y.
所以x>
y是x>
|y|的必要不充分条件.]
例2 解 充分性:
当0<
a<
时,
判别式Δ=a2-4a(1-a)=5a2-4a
=a(5a-4)<
0,
则ax2-ax+1-a>
0对一切实数x都成立.
而当a=0时,不等式ax2-ax+1-a>
0化为1>
显然当a=0时,不等式ax2-ax+1-a>
必要性:
因为ax2-ax+1-a>
0对一切实数x都成立,
所以a=0或
解得0≤a<
.
故0≤a<
是不等式ax2-ax+1-a>
0对一切实数x都成立的充要条件.
跟踪训练2 解 先由题意求出条件:
设α是两方程的公共根,显然α≠0,
则α2+2aα+b2=0,①
α2+2cα-b2=0,②
①+②,得2α2+2α(a+c)=0,
∴α=-(a+c).
代入①,得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,即a2=b2+c2,以上求条件的过程就是必要性的证明过程.
再证明充分性:
∵a2=b2+c2,
∴方程x2+2ax+b2=0,
可化为x2+2ax+a2-c2=0,
它的解为x1=-(a+c),
x2=c-a.
同理方程x2+2cx-b2=0可化为
x2+2cx-a2+c2=0,
它的解为x3=-(a+c),x4=a-c.
∵x1=x3,∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.
综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.
例3 证明 充分性:
∵ac<
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>
∴方程一定有两个不等实根,
设两实根为x1,x2,则x1x2=<
∴方程的两根异号,
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
∵方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
设两实根为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=<
0,且Δ=b2-4ac>
即ac<
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<
跟踪训练3 证明 ①充分性:
如果b=0,那么f(x)=kx,
因为f(-x)=k(-x)=-kx,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
②必要性:
因为f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)对任意x均成立,
即k(-x)+b=-(kx+b),
所以b=0.
综上,一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
例4 解 由3x+m<
0得,x<
-.
∴p:
A=.
由x2-2x-3>
-1或x>
3.
∴q:
B={x|x<
3}.
∵p⇒q而q⇒/p,∴A是B的真子集,
∴-≤-1,
∴m≥3,即m的取值范围是[3,+∞).
跟踪训练4 B [q:
x<
2,
由题意知,{x|x≥k}{x|x<
2},
则k>
2,∴k的取值范围是(2,+∞).]
当堂训练
1.A 2.B 3.D 4.m=-4或m=0
5.解 由3x+m<
0,得x<
-,
A={x|x<
-}.
3,
∵p⇒q而q⇒/p,
∴AB,∴-≤-1,