版高中数学第一章常用逻辑用语23充要条件学案含答案北师大版选修11Word格式.docx
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p是q成立的必要不充分条件
p是q成立的充要条件
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法：
原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}．
类型一 充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件）
（1）p：
四边形的对角线互相平分，q：
四边形是矩形；
（2）p：
a2＋b2＝0，q：
a＋b＝0；
（3）p：
x＝1或x＝2，q：
x－1＝；
（4）p：
sinα>
sinβ，q：
α>
β.
反思与感悟 充要条件的常用判断方法
（1）命题判断法：
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．
（2）集合法：
若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．
跟踪训练1
（1）“x＞1”是“log（x＋2）＜0”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
（2）设x>
0，y∈R，则“x>
y”是“x>
|y|”的（ ）
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 探求充要条件
例2 求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>
0对于一切实数x都成立的充要条件．
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<
0.
反思与感悟 一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；
证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q.
跟踪训练3 求证：
一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.
类型三 充分条件与必要条件的应用
例4 已知p：
3x＋m<
0，q：
x2－2x－3>
0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式（组）求解．同时要注意命题的等价性的应用．
跟踪训练4 已知p：
x≥k，q：
<
1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）
C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]
1．“x2>
2017”是“x2>
2016”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．“a>
b”是“a>
|b|”的（ ）
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列结论中正确的是（ ）
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③B．①②C．①②③D．①②③④
4．直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切的充要条件是________________．
5．已知p：
1．充要条件的判断有三种方法：
定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
（1）充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；
如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
思考2 因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；
同理，q是p的充分条件，也是必要条件．
梳理 p⇔q 充分必要条件 充要条件
知识点二
1．p⇒q，但q⇒/p q⇒p，但p⇒/q p⇒q，q⇒p，即p⇔q p⇒/q，q⇒/p
题型探究
例1 解
（1）∵四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形，
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
（2）∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，
a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
（3）∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p是q的充要条件．
（4）由sinα>
sinβ不能推出α>
β，反过来由α>
β也不能推出sinα>
sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．
跟踪训练1
（1）B [由x＞1⇒x＋2＞3⇒＜0，＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“＜0”成立的充分不必要条件．故选B.]
（2）C [当x＝1，y＝－2时，x>
y，
但x>
|y|不成立；
因为|y|≥y，所以若x>
|y|，则x>
y.
所以x>
y是x>
|y|的必要不充分条件．]
例2 解 充分性：
当0<
a<
时，
判别式Δ＝a2－4a（1－a）＝5a2－4a
＝a（5a－4）<
0，
则ax2－ax＋1－a>
0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>
0化为1>
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>
必要性：
因为ax2－ax＋1－a>
0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<
.
故0≤a<
是不等式ax2－ax＋1－a>
0对一切实数x都成立的充要条件．
跟踪训练2 解 先由题意求出条件：
设α是两方程的公共根，显然α≠0，
则α2＋2aα＋b2＝0，①
α2＋2cα－b2＝0，②
①＋②，得2α2＋2α（a＋c）＝0，
∴α＝－（a＋c）．
代入①，得（a＋c）2－2a（a＋c）＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．
再证明充分性：
∵a2＝b2＋c2，
∴方程x2＋2ax＋b2＝0，
可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
它的解为x1＝－（a＋c），
x2＝c－a.
同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为
x2＋2cx－a2＋c2＝0，
它的解为x3＝－（a＋c），x4＝a－c.
∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．
综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.
例3 证明 充分性：
∵ac<
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<
0，且Δ＝b2－4ac>
即ac<
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<
跟踪训练3 证明 ①充分性：
如果b＝0，那么f（x）＝kx，
因为f（－x）＝k（－x）＝－kx，
所以f（－x）＝－f（x），
所以f（x）为奇函数．
②必要性：
因为f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）对任意x均成立，
即k（－x）＋b＝－（kx＋b），
所以b＝0.
综上，一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.
例4 解 由3x＋m<
0得，x<
－.
∴p：
A＝.
由x2－2x－3>
－1或x>
3.
∴q：
B＝{x|x<
3}．
∵p⇒q而q⇒/p，∴A是B的真子集，
∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞）．
跟踪训练4 B [q：
x<
2，
由题意知，{x|x≥k}{x|x<
2}，
则k>
2，∴k的取值范围是（2，＋∞）．]
当堂训练
1．A 2.B 3.D 4.m＝－4或m＝0
5．解 由3x＋m<
0，得x<
－，
A＝{x|x<
－}．
3，
∵p⇒q而q⇒/p，
∴AB，∴－≤－1，
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