河北省沧州市普通高中届高三上学期教学质量监测联考数学理试题Word版含答案Word格式文档下载.docx
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A.28B.56C.-28D.-56
7.若,,则()
A.1B.C.D.0
8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为()
A.5B.11C.14D.19
9.如图,用虚线表示的网格的小正方形边长为1,实线表示某几何体的三视图,则此几何体的外接球半径为()
A.B.C.2D.
10.已知,,则可以用表示为()
11.设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则()
12.已知数列满足,,.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为()
A.3B.4C.7D.9
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知单位向量的夹角为60°
,则.
14.若满足约束条件则的取值范围为.
15.已知是双曲线的两个焦点,点是双曲线上一点,若,且,则双曲线的离心率为.
16.如图,在中,,.分别是边上的点,且.现将沿直线折起,形成四棱锥,则此四棱锥的体积的最大值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知函数的最小正周期为,将函数的图象向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数的图象.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为.若,,求面积的最大值.
18.如图所示,在四棱锥中,底面为正方形,平面,且,点在线段上,且.
(Ⅰ)证明:
平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.某厂为检验车间一生产线是否工作正常,现从生产线中随机抽取一批零件样本,测量尺寸(单位:
)绘成频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)求该批零件样本尺寸的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)若该批零件尺寸服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,利用该正态分布求;
(Ⅲ)若从生产线中任取一零件,测量尺寸为,根据原则判断该生产线是否正常?
附:
;
若,则,,.
20.对于椭圆,有如下性质:
若点是椭圆上的点,则椭圆在该点处的切线方程为.利用此结论解答下列问题.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若动点在直线上,经过点的直线与椭圆相切,切点分别为.求证直线必经过一定点.
21.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在处的切线方程;
(Ⅱ)试判断函数零点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.已知曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)求曲线和直线的普通方程;
(Ⅱ)若点为曲线上一点,求点到直线的距离的最大值.
23.已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的解集包含,求实数的取值范围.
河北省沧州市普通高中2019届高三上学期教学质量监测(联考)
数学(理)试题参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:
BBCDC6-10:
AACAA11、12:
DA
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由题得,.
由最小正周期为,得.
∴.
由,,
得,.
故函数的单调递增区间是,;
(Ⅱ)∵,
又∵为锐角,
由余弦定理,得,
即,当且仅当时,等号成立.
∴面积的最大值为.
18.解:
∵平面,平面,
又∵底面为正方形,
∵,
∴平面.
设交于点,如图,在中,
∵,,,
∴由余弦定理可得.
∵,平面,平面,
又∵在平面内,
∴平面平面;
(Ⅱ)∵为正方形,且平面,
∴,,.
以点为原点,分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
由题意知,,且.
则,,,,,
∴,,
,,.
设平面的一个法向量为,
则即
令,得.
∴二面角的余弦值为,
于是二面角的余弦值为.
19.解:
(Ⅰ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
从而,
,
(Ⅲ)∵,,
∵,小概率事件发生了,
∴该生产线工作不正常.
20.解:
(Ⅰ)∵椭圆在点处的切线方程为,
其斜率为,
又点在椭圆上,
解得,.
∴椭圆的方程为;
(Ⅱ)设,,,
则切线,切线.
∵都经过点,
∴,.
即直线的方程为.
又,
∴,
即.
令得
∴直线必经过一定点.
21.解:
(Ⅰ)当时,,,
∵,,
∴在处的切线方程为,即;
(Ⅱ)由题知,的定义域为,
.
①当时,对于定义域中任意,有,在上是增函数.
又,并且当时,,
∴有唯一的零点;
②当时,在上,单调递减;
在上,,单调递增.
又当时,,并且.这是因为:
设,则.
记,则.
∵在上,,单调递减;
在上,,单调递增,
∴的最小值为,即成立,
∴在区间内存在一点,使得.
则函数零点的个数取决于的最小值的正负.
又函数的最小值为.
记,则是上的增函数.
又观察,得,
∴当时,的最小值小于0,即有两个零点;
当时,的最小值为0,有唯一的零点;
当时,的最小值大于0,没有零点.
综上所述,当或时,有唯一的零点;
当时,有两个零点;
当时,没有零点.
22.解:
(Ⅰ)曲线的普通方程,
直线的普通方程为;
(Ⅱ)∵点为曲线上一点,
∴点的坐标为,
根据点到直线的距离公式,得
23.解:
(Ⅰ)当时,,即.
当时,不等式化为,解得;
当时,不等式化为,解得.
综上,不等式的解集为或;
(Ⅱ)的解集包含在上恒成立
在上恒成立
∴实数的取值范围是.