质点运动学授课时间太原师范学院教案章节名称21质点Word格式文档下载.docx

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2.1质点的运动学方程

一、质点的位置矢量与运动学方程

1．位置矢量

基本概念：

从原点O到质点所在的位置P点的有向线段，叫做位置矢量或位矢。

位置矢量是矢量：

有大小和方向；

具有瞬时性；

具有相对性；

单位：

米（m）。

2．运动学方程

质点运动时，它相对坐标原点O的位置矢量是随时间变化的。

因此，是时间的函数。

运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。

质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为运动的轨迹。

轨迹是直线：

直线运动，轨迹是曲线：

曲线运动。

例1自由落体运动的运动学方程为

例2平抛运动的运动方程

为轨迹方程。

二、位移

定义把由始点到终点的有向线段定义为质点的位移矢量，简称位移。

它是描述质点位置变化的物理量。

数学表达式

太原师范学院教案

表明位移是矢量，具有瞬时性及相对性，其单位：

位移与路程的区别

位移是矢量：

是指位置矢量的变化；

路程是标量：

是指运动轨迹的长度。

一、平均速度与瞬时速度

1．平均速度

2．瞬时速度

定义平均速度的极限值称为瞬时速度，简称速度。

即

，，

3．关于速度的说明

速度是矢量，有大小和方向，具有瞬时性及相对性，其单位：

。

匀速运动：

速度为恒量。

变速运动：

速度为变量。

二、平均加速度与瞬时加速度

1．平均加速度

速度的增量与所用时间的比值叫做质点的平均加速度，即

2．瞬时加速度

定义平均加速度的极限值称为瞬时加速度，简称加速度。

其方向：

时速度增量的极限方向。

在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。

加速度是矢量，有大小和方向，具有瞬时性及相对性，其单位：

匀变速运动：

加速度为恒量。

非匀变速运动：

加速度为变量。

例3一个质点在x轴上作直线运动，运动方程为，式中的单位为米，的单位为秒，求

（1）任意时刻的速度和加速度；

（2）在和时刻，物体的位置，速度和加速度；

（3）在到时间内，物体的平均速度和平均加速度。

解

（1）由速度和加速度的定义式，可求得

（2）时

时

（3）自至时间内，物体的平均速度和平均加速度为

小结

1．描述质点运动的四个物理量：

1）位置矢量

2）位移

3）速度

4）加速度

2．位置矢量和速度是描述质点状态的物理量，位移和加速度是反映质点运动状态变化的物理量。

2.3质点直线运动——从坐标到速度和加速度

2.4质点直线运动——从加速度到速度和坐标

（一）

1．学会由已知运动方程求质点的位移、速度和加速度。

2．学会由速度和初始条件求质点运动的运动方程及位移。

质点直线运动学的两类问题。

积分法处理质点运动学第二类问题。

习题2.3.22.3.42.3.52.4.12.4.2

一、运动学方程

质点直线运动的运动学方程

它对应的函数曲线即图。

二、速度和加速度

质点沿轴运动的瞬时速度为

质点沿轴运动的瞬时速率为

质点沿轴运动的瞬时加速度为

的正负不能说明质点作加速或减速运动。

若与的符号相同，质点作加速运动；

若与的符号相反，质点作减速运动。

三、匀速与匀变速直线运动

1．匀速直线运动

特征：

；

常数；

2．匀变速直线运动

，

教材[例题2]、[例题3]

一、从速度到运动学方程和位移

已知质点的速度

以及位置坐标的初始条件时，，则质点的运动学方程为

质点自至时间内发出的位移为

质点运动学的两类基本问题：

第一类基本问题：

已知质点的运动方程，求质点的状态——用微分方法求解；

第二类基本问题：

已知质点的状态，求质点的运动方程——用积分方法求解。

2.4质点直线运动——从加速度到速度和坐标

（二）

2.5平面直角坐标系·

抛体运动

1．学会由加速度和初始条件求质点运动的速度及运动方程。

2．掌握并会熟练运用匀变速直线运动的基本规律，能运用x-t、v-t、a-t图线去分析质点的运动。

3．掌握并会熟练运用抛体运动的基本规律。

质点直线运动学的第二类问题。

习题2.4.32.4.42.4.52.4.72.4.82.5.22.5.32.5.4

二、已知加速度求速度和运动学方程

已知质点的加速度

以及位置坐标及速度的初始条件时，，，则质点在时刻的速度为

质点的运动学方程为

教材[例题1]、[例题2]

补充例题设某质点沿轴运动，在时的速度为，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为（），试求速度随时间变化的关系式。

解由题意及加速度的定义式，可知

因而

得

所以

速度的方向保持不变，但大小随时间增大而减小，直到速度等于零为止。

一、平面直角坐标系

质点平面运动状况决定于

，

质点在时刻的速度为

质点在时刻的加速度为

补充例题一质点的运动方程为，，其中和的单位是米，的单位是秒。

试求：

（1）运动轨迹；

（2）第一秒内的位移；

（3）和两时刻质点的速度和加速度。

解

（1）由运动方程，消去参数得

此为抛物线方程，即质点的运动轨迹为抛物线。

（2）先将运动方程写成位置矢量形式

当时，，当时，，则第一秒内的位移为

（3）由速度及加速度定义得

所以当时，，。

当时，，。

二、抛体运动

1．运动的叠加原理或运动的独立性原理

曲线可以运动分解为几个垂直方向的运动。

当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。

2．斜抛运动

水平方向：

匀速运动。

竖直方向：

竖直上抛运动。

轨迹为抛物线。

初速度

初始位置，。

加速度，。

速度

运动学方程为

轨迹方程为

讨论射程：

抛体落地点与抛出点之间的距离。

当时，射程最远，即

教材[例题2]

加速度为恒矢量时的速度为

2.6自然坐标·

切向和法向加速度

1．掌握并会熟练运用圆周运动的基本规律，理解圆周运动中角量与线量的关系。

2．能借助自然坐标系描述质点的运动，计算质点的切向加速度和法向加速度。

1．自然坐标系描述质点的运动。

2．质点的切向加速度和法向加速度。

质点的切向加速度和法向加速度。

习题2.6.12.6.22.6.3

一、自然坐标

沿质点轨迹建立一弯曲的“坐标轴”选择轨迹上一点为“原点”，并用由原点至质点位置的弧长作为质点位置坐标，坐标增加的方向是人为规定的。

若轨迹限于平面内，弧长叫做自然坐标。

在质点位置处“就地”建立切向和法向单位矢量和。

在自然坐标中，质点的运动学方程为

二、速度·

质点的速度为

质点的加速度为

其中，称为质点的切向加速度，为加速度在切向单位矢量方向的投影；

称为质点的法向加速度，为加速度在法向单位矢量方向的投影。

为曲线在质点位置处的曲率半径。

质点的加速度大小为

与的夹角为

利用自然坐标，一切运动都可用切向、法向加速度表示：

，，匀速直线运动。

，，变速直线运动。

，，匀速曲线运动。

，，变速曲线运动。

三、质点的圆周运动

1．质点的运动学方程

2．圆周运动的角速度

定义：

角坐标随时间的变化率

角速度与线速度的关系

3．圆周运动的角加速度

角速度随时间的变化率

切向、法向加速度与角量的关系

用自然坐标描述质点的一般曲线运动时，质点的运动学方程为

其速度为

加速度为

质点作圆周运动时，质点的运动学方程为

2.7极坐标系·

径向速度与横向速度

2.8伽利略变换

1．了解极坐标系。

2．理解伽利略变换，掌握伽利略速度变换关系。

伽利略变换。

伽利略速度变换关系。

习题2.8.12.8.32.8.5

一、极坐标系

质点平面运动时，在参考系上取点，引有刻度的射线称为极轴，即构成极坐标系。

时刻质点的位置决定于极坐标，质点的运动学方程为

二、径向速度与横向速度

在质点位置处“就地”建立径向和横向单位矢量和，则质点的速度为

和分别为径向速度和横向速度。

一、时间与空间

时间的绝对性：

在两个作相对直线运动的参考系中，时间的测量与参考系无关。

空间的绝对性：

在两个作相对直线运动的参考系中，长度的测量与参考系无关。

二、相对运动

研究的问题:

在两个参考系中考察同一物理事件。