概率论与数理统计课程第一章练习题与解答Word文件下载.docx

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1．设事件A和B相互独立，则（C）

A、　　　B、　　C、　　D、

2、设事件A与B相互独立，且，则正确的是（A）

A、与一定不独立B、与一定不独立

C、与一定独立D、与一定独立

3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（B）

A、B、

C、D、

4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（）

A、B、C、D、

分析事件表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度；

事件表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度，即，选C。

5、对于任意二事件A和B，与不等价的是（）

分析，而，因不一定成立，选D。

6、对于任意二事件A和B，

A、若，则A，B一定独立B、若，则A，B有可能独立

C、若，则A，B一定独立D、若，则A，B一定不独立

分析若中至少有一个等于0时，则A不成立；

若均大于0时，则C不成立；

若，但，且时，则A与B独立，D不成立，因此应选B。

即当时，如果，则A与B独立，否则A与B不独立。

7、对于事件A和B，满足的充分条件是（）

A、A是必然事件B、C、D、

分析的充分条件是，即，显然在四个选项中，当时，，可得，因此是的充分条件。

选D

8、已知且，则下列选项成立的是

A、B、

C、D、

分析依题意，

因为，故有。

选B

9、设A、B为任意两个事件，且，则下列选项必然成立的是

A、B、C、D、

分析因为，故，又，于是有

，选B

10、设A、B是两个随机事件，且，则必有（）

分析应用条件概率定义从可得，

即，选C

三、填空题

1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），样本空间S为（）

2、生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间S为（）

3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间S为（）

4、在单位圆任意取一点，记录它的坐标，样本空间S为（取一直角坐标系，则样本空间为；

若取极坐标系，则样本空间为。

）

5、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生，（或者）

（2）A与B都发生，而C不发生，（或者）

（3）A，B，C中至少有一个发生，（）

（4）A，B，C都发生，（）

（5）A，B，C都不发生，（）

（6）A，B，C中不多于一个发生，（或者或者）

（7）A，B，C中不多于两个发生，

（或者）

（8）A，B，C中至少有两个发生，（或者）。

6、设A，B是任意两个随机事件，则（0）

分析

7、一批产品共有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（）

分析此为一全概率问题，设事件，

由题有，，

于是

8、设A，B两个事件满足，且，则（）

分析

因为，故有，

9、设两两相互独立的三事件A，B和C，满足条件：

，且已知，则（）

分析由于A、B、C两两相互独立，且，

所以，，

，

依题意，有，解方程，得。

（不合题意舍去）

10、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则（）

分析依题意，，故，

即，又因A与B相互独立，故与亦相互独立，

。

四、计算题

1、

（1）设A，B，C是三个事件，且（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AB）=P（BC）=0,

P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。

（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30,求，，，，，的概率。

（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求，（ii）若P（AB）=1/8，求。

解：

（1）

（2）；

；

。

（3）（i）

（ii）

2、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的。

求

（1）最小为5的概率；

（2）最大为5的概率。

古典概型

（1）设A=“最小为5”，则；

（2）设B=“最大为5”，则。

3、在1500个产品中有400个次品，1100个正品。

从中任取200个。

求

（1）恰有90个次品的概率；

（2）至少有2个次品的概率。

设A=“恰有90个次品”；

Bi=“恰有i个次品”，i=0,1，C=“至少有2个次品”。

（1）设A=“恰有90个次品”，则；

（2）设C=“至少有2个次品”，求

又设Bi=“恰有i个次品”，i=0,1，则，

于是，

这里，，

因此。

4、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，

则。

另解：

设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，Ai=“所取4只鞋子恰能配成i双”，i=1,2，则

5、卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意连抽7，求其排列结果为ability的概率。

古典概型，设A=“排列结果为ability”，则。

6、

（1）已知。

求条件概率。

（2）已知，求

；

（2）

7、

（1）.设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；

第二只盒子装有4只红球，5只白球。

先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

（1）设A=“从甲袋取得红球”，B=“从乙袋取得白球”，则

（2）设Ai=“从第一盒取得的球中有i只红球”，i=0,1,2，

B=“从第二盒取得一白球”，则

因为，，，

所以。

8、将两编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误作为B的概率是0.02，而B被误作为A的概率是0.01。

信息A与信息B被传出的频繁程度为2:

1.若接收的信息是A，问原发信息的是A的概率是多少?

设D=“将信息A传出去”，R=“接收到信息A”，题目要求，由题知，，，

因为，所以，，因此，

9、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4。

问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

设Ai=“第i人能译出密码”，i=1,2,3，B=“译出密码”，

由题知，，，则

10、将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是（1－α）/2。

今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p2,p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？

（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。

设A1=“输入AAAA”，B1=“输入BBBB”，C1=“输入CCCC”，D=“输入ABCA”，

因为，因此

由于，，

五、证明题

1、设A，B是两个事件。

（i）已知，证明A=B；

（ii）证明事件A与事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。

证明：

（1）因为，，

所以有，；

（2）显然，

2、设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A与B独立的充分必要条件。

证明1：

由于事件A的概率不等于0和1，题中两个条件概率都存在。

必要性、由事件A与B独立，知事件与B也独立，

因此，从而。

充分性、由，可见

，，

因此A与B独立。

证明2：

因此A与B独立。

3、设A、B、C三个事件两两独立，证明A、B、C相互独立的充分必要条件是A与BC独立。

A、B、C相互独立的充分必要条件是A、B、C两两独立且

必要性、由A与BC独立，因为A、B、C两两独立，有B与C独立，故，因此A、B、C相互独立。

充分性、由A、B、C相互独立，有和，从而有，即A与BC独立。