届高考数学一轮复习 第9章 第49课 双曲线Word格式文档下载.docx

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F1F2时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

－＝1（a>

0，b>

0）

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：

坐标轴，对称中心：

原点

顶点

A1（－a,0），A2（a,0）

A1（0，－a），A2（0，a）

渐近线

y＝±

x

离心率

e＝，e∈（1，＋∞），其中c＝

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2（c>

a>

b>

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±

x，离心率为e＝.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（　　）

（2）方程－＝1（mn>

0）表示焦点在x轴上的双曲线．（　　）

（3）双曲线方程－＝λ（m>

0，n>

0，λ≠0）的渐近线方程是－＝0，即±

＝0.（　　）

（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）√

2．（教材改编）已知双曲线－＝1（a>

0）的离心率为2，则a＝________.

1　[依题意，e＝＝＝2，

∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]

3．（2017·

泰州中学高三摸底考试）若双曲线x2－＝1的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是________．

8　[由题意得b＝2⇒k＝b2＝8.]

4．（2016·

江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．

2　[由双曲线的标准方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，从而焦距2c＝2.]

5．（2016·

北京高考改编）已知双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为（，0），则双曲线的方程为__________．

x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，

∴＝2，即b＝2a.①

又∵双曲线的一个焦点为（，0），则c＝，

由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②

联立①②得a2＝1，b2＝4.

∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]

双曲线的定义及应用

　已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）．则△APF周长的最小值为__________.【导学号：

62172269】

32　[由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，

故F（3,0），F1（－3,0），

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知PF－PF1＝2.所以PF＝PF1＋2，

从而△APF的周长＝AP＋PF＋AF＝AP＋PF1＋2＋AF.

因为AF＝＝15为定值，

所以当（AP＋PF1）最小时，△APF的周长最小，A，F1，P三点共线．

又因为AP＋PF1≥AF1＝AF＝15.

所以△APF周长的最小值为15＋15＋2＝32.]

[规律方法]　1.应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．

2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将PF1－PF2＝2a平方，建立PF1·

PF2间的联系．

[变式训练1]　

（1）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若F1A＝2F2A，则cos∠AF2F1＝________.

（2）已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若PF1＝PF2，则△F1PF2的面积为________．

（1）　

（2）24　[

（1）由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得F1A－F2A＝2a.

又F1A＝2F2A，故F1A＝4a，

F2A＝2a，

∴cos∠AF2F1＝＝.

（2）由双曲线的定义可得

PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，

解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10，

由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝PF1×

PF2＝24.]

双曲线的标准方程

（1）已知双曲线C：

－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2（5,0），则双曲线C的方程为________．

（2）（2016·

天津高考改编）已知双曲线－＝1（a>

0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．

（1）－＝1　

（2）－y2＝1　[

（1）由焦点F2（5,0）知c＝5.

又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.

∴双曲线C的标准方程为－＝1.

（2）由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.

又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，

所以双曲线的方程为－y2＝1.]

[规律方法]　1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB<

0）．

2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．

[变式训练2]　

（1）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±

x，则该双曲线的标准方程为________________．

（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．

（1）－y2＝1　

（2）－＝1　[

（1）∵双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ（λ≠0）．

∵双曲线过点（4，），

∴λ＝16－4×

（）2＝4，

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

（2）由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（－5,0），F2（5,0），设曲线C2上的一点P，则PF1－PF2＝8.

由双曲线的定义知：

a＝4，b＝3.

故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]

双曲线的简单几何性质

（1）（2016·

全国卷Ⅱ改编）已知F1，F2是双曲线E：

－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．

（2）设双曲线－＝1（a>

0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________.【导学号：

62172270】

（1）　

（2）x±

y＝0　[

（1）如图，因为MF1⊥x轴，所以MF1＝.

在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得

tan∠MF2F1＝.

所以＝，即＝，即＝，

整理得c2－ac－a2＝0，

两边同除以a2得e2－e－1＝0.

解得e＝（负值舍去）．

（2）由题设易知A1（－a,0），A2（a,0），B，C.

因为A1B⊥A2C，

所以·

＝－1，整理得a＝b.

因此该双曲线的渐近线为y＝±

x，即x±

y＝0.]

[规律方法]　1.

（1）求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；

（2）求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>

1这一条件．

2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．

[变式训练3]　

（1）（2017·

无锡期末）设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°

，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．

（2）双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为________．

2y＝0　[

（1）设AB＝x，则BC＝x，AC＝x，

∴2a＝x－x,2c＝x，

∴e＝＝＝＝.

（2）由题意可知a2＝1，b2＝－m，由于b＝2a，故－m＝4，∴m＝－4.

由x2－4y2＝0得x＝±

2y，即x±

2y＝0.

∴双曲线的渐近线方程为x±

2y＝0.]

[思想与方法]

1．求双曲线标准方程的主要方法：

（1）定义法：

由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．

（2）待定系数法：

即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．

①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1（AB<

②当已知双曲线的渐近线方程bx±

ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0）．

③与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）．

2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可．

[易错与防范]

1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.

2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈（0,1）．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．

3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．

课时分层训练（四十九）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

1．双曲线x2－＝1的两条渐近线方程为________．

2x　[由x2－＝0得y＝±

2x，即双曲线的两条渐进线方程为y＝±

2x.]

2．已知双曲线－y2＝1（a>

0）的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________.

【导学号：

62172271】

　[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±

，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>

0，所以＝，所以a＝.]

3．双曲线－＝1的离心率为________．

　[∵a2＝4，b2＝5，

∴c2＝9，∴e＝＝.]

4．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为________.【导学号：

62172272】

　[由双曲线的渐近线过点（3，－4）知＝，∴＝.

又b2＝c2－a2，∴＝，

即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]

5．已知点F1（－3,0）和F2（3,0），动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为________．

－＝1（x>

0）　[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1（x>

0，a>

0），由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.

所以点P的轨迹方程为－＝1（x>

0）．]

6．已知F为双曲线C：

x2－my2＝3m（m>

0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．

　[由双曲线方程知a2＝3m，b2＝3，

∴c＝＝.

不妨设点F为右焦点，则F（，0）．

又双曲线的一条