届高三理科数学一轮复习学案同角三角函数的基本关系与诱导公式Word格式.docx
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[例1] （2017·
南京模拟）已知α为第二象限角，则cosα·
＋sinα＝________.
[解析] 原式＝cosα＋sinα
＝cosα·
＋sinα·
，
因为α是第二象限角，
所以sinα＞0,cosα＜0，
所以cosα·
＋sinα·
＝－1＋1＝0，即原式等于0.
[答案] 0
条件求值
[例2] 若tanα＝2，则
（1）＝________；
（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
[解析]
（1）＝＝＝－1.
（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α
＝＝
＝＝1.
[答案]
（1）－1
（2）1
[方法技巧]
同角三角函数关系式应用的注意事项
（1）同角并不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，＝tan3x都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
（2）对于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
sinα±
cosα与sinαcosα关系的应用
[例3] 已知x∈（－π，0），sinx＋cosx＝.
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求的值．
[解]
（1）由sinx＋cosx＝，
平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，
整理得2sinxcosx＝－.
∴（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.
由x∈（－π，0），知sinx<
0，
又sinx＋cosx>
∴cosx>
0，则sinx－cosx<
故sinx－cosx＝－.
（2）＝
＝＝＝－.
同角三角函数关系式的方程思想
对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为（sinα±
cosα）2＝1±
2sinαcosα，体现了方程思想的应用．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A.B．－C.D．－
解析：
选D 因为α为第四象限角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.
2.（2017·
厦门质检）已知sinαcosα＝，且<
α<
，则cosα－sinα的值为（ ）
A．－B.C．－D.
选B ∵<
，∴cosα<
0，sinα<
0且|cosα|<
|sinα|，∴cosα－sinα>
0.又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×
＝，∴cosα－sinα＝.
3.已知sinα＋cosα＝，则tanα＝（ ）
A.B.C．－D．－
选A ∵sinα＋cosα＝，∴（sinα＋cosα）2＝3，即sin2α＋2sinαcosα＋2cos2α＝3，
∴＝3，∴＝3，
即2tan2α－2tanα＋1＝0，解得tanα＝.
4.sin21°
＋sin22°
＋…＋sin289°
＝________.
原式＝（sin21°
＋sin289°
）＋（sin22°
＋sin288°
）＋…＋（sin244°
＋sin246°
）＋sin245°
＝（sin21°
＋cos21°
＋cos22°
＋cos244°
）＋＝＋＝44.
答案：
44
5.已知tanα＝－，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）sin2α＋2sinαcosα的值．
解：
（1）＝＝＝.
（2）＝＝＝＝＝－.
（3）sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－.
突破点
（二） 三角函数的诱导公式
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
cos_α
余弦
－cos_α
正切
tan_α
－tan_α
2.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
π
sinα
1
cosα
－
－1
tanα
诱导公式的应用
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：
“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
（1）化简过程是恒等变形；
（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[典例]
（1）若sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝（ ）
A.B.C.D.
（2）求值：
sin（－1200°
）cos1290°
＋cos（－1020°
）·
sin（－1050°
）＝________.
[解析]
（1）方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sinα＝－.
原式＝＝－＝.
（2）原式＝－sin1200°
cos1290°
－cos1020°
sin1050°
＝－sin（3×
360°
＋120°
）cos（3×
＋210°
）－cos（2×
＋300°
）sin（2×
＋330°
）
＝－sin120°
cos210°
－cos300°
sin330°
＝－sin（180°
－60°
）cos（180°
＋30°
）－cos（360°
sin（360°
－30°
＝sin60°
cos30°
＋cos60°
sin30°
＝×
＋×
＝1.
[答案]
（1）B
（2）1
[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的注意事项
（1）已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
（2）对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
1．已知sin＝，那么cosα＝（ ）
A．－B．－C.D.
选C ∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.
2．sin210°
cos120°
的值为（ ）
A.B．－C．－D.
选A sin210°
＝－sin30°
（－cos60°
）＝－×
＝.
3．已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是（ ）
A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}
C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}
选C k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝＋＝－2.则A的值构成的集合为{2，－2}．
4．已知tan＝，则tan＝________.
tan＝tan＝tanπ－－α＝－tan＝－.
5．已知α为第三象限角，
f（α）＝.
（1）化简f（α）；
（2）若cos＝，求f（α）的值．
（1）f（α）＝
＝＝－cosα.
（2）∵cos＝，
∴－sinα＝，从而sinα＝－.
又α为第三象限角，
∴cosα＝－＝－，
∴f（α）＝－cosα＝.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.（2016·
全国丙卷）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝（ ）
A.B.
C．1D.
选A 因为tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝＝.故选A.
2．（2016·
全国乙卷）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝＝.
则tan＝tan
＝－
＝－×
＝－.
[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若α∈，sinα＝－，则cos（－α）＝（ ）
A．－B.
C.D．－
选B 因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，则cos（－α）＝cosα＝.
2．若sinθcosθ＝，则tanθ＋的值是（ ）
A．－2B．2
C．±
2D.
选B tanθ＋＝＋＝＝2.
3．已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|＜，则θ等于（ ）
A．－B．－
C.D.
选D ∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.
4．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________.
∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.
5.＝________.
原式＝
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．sin（－600°
）的值为（ ）
选A sin（－600°
）＝sin（－720°
）＝sin120°
2．已知tan（α－π）＝，且α∈，则sin＝（ ）
A.B．－
选B 由tan（α－π）＝得tanα＝.又因为α∈，所以α为第三象限的角，由可得，sinα＝－，cosα＝－.所以sin＝cosα＝－.
3．已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2017）的值为（ ）
A．－1B．1
C．3D．－3
选D ∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）
＝asinα＋bcosβ＝3，
∴f（2017）＝asin（2017π＋α）＋bcos（2017π＋β）
＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）
＝－asinα－b
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