届高考数学 问题11 数集与点集的运算提分练习Word文档格式.docx

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①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．

三、知识拓展

1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．奇数集：

.

4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:

若从某个非空数集中任选两个元素（同一元素可重复选出）,选出的这两个元素通过某种（或几种）运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种（或几种）运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;

整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）,仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.

四、题型分析

（一）与数集有关的基本运算

【例1】已知全集为R,集合A＝,B＝,则A∩RB等于（　　）．

A．{x|x≤0}B．{x|0≤x＜2或x＞4}

C．{x|2≤x≤4}D．{x|0<

x≤2或x≥4}

【分析】将集合A,B化简,结合数轴求A∩∁RB.

【解析】

（1）A＝{x|x≥0},B＝{x|2≤x≤4}．∴RB＝{x|x＞4或x＜2}．∴A∩RB＝{x|x≥0}∩{x|x＞4或x＜2}

＝{x|0≤x＜2或x＞4}．

【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,求解本题的关键是准确求出B,并注意端点值的取舍．若给定集合涉及不等式的解集,可借助数轴进行．

【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】,,所以,.

故选A.

（二）与点集有关的基本运算

【例2】已知,则（）

A．－2B．－6C．2D．一2或－6

【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值．

【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．

【小试牛刀】【2017全国3理1】已知集合A=,,则中元素的个数为（）.

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】集合表示圆上所有点的集合,表示直线上所有点的集合,如图所示,所以表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即元素的个数为2.故选B.

（三）根据数集、点集满足条件确定参数范围

【例3】设常数a∈R,集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为（　　）

A．（－∞,2）B．（－∞,2]C．（2,＋∞）D．[2,＋∞）

【分析】先得到A＝（－∞,1]∪[a,＋∞）,B＝[a－1,＋∞）,再根据区间端点的关系求参数范围.

【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.

【小试牛刀】已知P＝{x|2<

x<

k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为________．

【答案】

（5,6]

【解析】因为P中恰有3个元素,所以P＝{3,4,5},故k的取值范围为5<

k≤6.

（四）数集、点集与其他知识的交汇

【例4】已知集合M是满足下列性质的函数的全体：

存在非零常数T,对任意∈R,有成立.

（1）函数是否属于集合M？

说明理由；

（2）设函数且）的图象与的图象有公共点,证明：

∈M；

（3）若函数∈M,求实数的取值范围.

【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足的函数构成．

（1）对于非零常数T,f（x+T）=x+T,Tf（x）＝Tx．

因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f（x）＝xM．

（2）因为函数f（x）=ax（a>

0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,

所以方程组：

有解,消去y得ax=x,

显然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T．

于是对于f（x）=ax,有

f（x＋T）=ax+T=aT·

ax=T·

ax=Tf（x）,故f（x）=ax∈M．

即sin（kx－k＋）=sinkx成立,则－k＋=2m,m∈Z,即k=－（2m－1）,m∈Z．综合得,实数k的取值范围是{k|k=m,m∈Z}．

【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：

其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；

其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．

【小试牛刀】在直角坐标系中,全集,集合,已知集合的补集所对应区域的对称中心为,点是线段上的动点,点是轴上的动点,则周长的最小值为（）

A．B．C．D．

【解析】∵点到直线的距离∴直线始终与圆相切,

∴集合表示除圆以外所有的点组成的集合,

∴集合表示圆,其对称中心

如图所示：

设是点关于直线线段的对称点,设,

则由求得,可得．设关于轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为,则此时,的周长为,为最小值,

（五）与数集、点集有关的信息迁移题

【例5】若集合A具有以下性质：

（Ⅰ）0∈A,1∈A；

（Ⅱ）若x∈A,y∈A,则x－y∈A,且x≠0时,∈A.

则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（　　）

（1）集合B＝{－1,0,1}是“好集”；

（2）有理数集Q是“好集”；

（3）设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x＋y∈A.

A．0B．1C．2D．3

【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．

【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．

【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合,若实数,满足：

对任意的,都有,则称是集合的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C.

【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对所构成的集合为,将其看作点的集合,为中心在原点,,,,为顶点的正方形及其内部,A,B,D选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C为抛物线,有公共点,故选C.

五、迁移运用

1．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合若则实数的取值范围是（）

【答案】D

【解析】集合,,则,故选D.

2．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合,若,则的值为（）

【解析】因为,且,所以,所以,故选A.

3．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合,,则（）

【解析】,选A.

4．【2018届湖北省八校高三上学期第一次联考】已知集合,则满足条件的集合的个数为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【解析】∵,又,∴集合的个数为个,故选C．

5．【2018届湖南十校12月联考】已知集合,,则中所有元素的和为（）

A.2B.3C.5D.6

【解析】集合,.

所有元素的和为3.故选B.

6．【2018届湖北八校高三12月联考】已知集合,则（）

【解析】由得：

,则,故,故选C.

7．【2018届河北衡水市高考模拟联考】设集合,,则下列运算正确的是（）

【解析】,则,故选.

8．【2018届浙东北联盟高三上学期期中考试】已知集合,,若,则为（）

9．【2018届辽宁鞍山市高三上学期第二次模拟】集合的真子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

所以真子集的个数为,故选C

10.【2016全国丙理1】设集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】由,得

故选D.

11.【2016全国甲理2】已知集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】因为,

所以,所以.故选C.

12.【2016全国乙理1】设集合,,则（）.

【解析】由题意可得,,所以.故选D.

13.【2017全国2理2】设集合,.若,则（）.

A．B．C．D．

14．【2017届河北磁县一中高三11月月考】若集合,则等于（）

A.B.

C.D.

【解析】因为,所以,故选C.

15．【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺】已知集合,则集合B不可能是（）

【解析】,,故选D.

16.已知集合M是由具有如下性质的函数组成的集合：

对于函数,在定义域内存在两个变量且时有．则下列函数①；

④在集合M中的个数是

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】由题对于函数,在定义域内存在两个变量且时有即

即对于函数,在定义域内存在两个变量且时,若为增函数,则,若为减函数,则,

对于①,不合题意

对于②,取特殊值验证,不合题意

对于③,函数在单调递增,在定义域内存在两个变量且时,在单调增区间时有,此时只须时可得.满足题意

对于④,函数在单调递减,在定义域内存在两个变量且时,在单调减区间时有,满足题意.

17．设是公比为的等比数列,,令,若数列有连续四项在集合中,则（）

A．B．C．D．

18.【2015湖北高考】已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2≤1,x,y∈Z},B＝{（x,y）||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB＝{（x1＋x2,y1＋y2）|（x1,y1）∈A,（x2,y2）∈B},则AB中元素的个数为（　　）

A．77B．49C．45D．30

【解析】如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合AB显