线性代数教案行列式Word格式文档下载.docx

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逆序数、行列式的概念

教学难点

参考教材

同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》

安玉伟等《高等数学定理方法问题》

作业布置

课后习题微积分标准化作业

大纲要求

了解行列式的概念

教学基本内容

一．排列及其逆序数

1.定义：

将1，2，…，这个不同的数排成一列，称为阶全排列，也简称为全排列.

注：

（1）阶全排列的总数为.

（2）标准排列.

2.定义：

在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列的逆序数记为.

3.定义：

逆序数为偶数的排列称为偶排列；

逆序数为奇数的排列称为奇排列.

二．二阶、三阶行列式

1.引例：

解方程组

2.二阶行列式定义：

若记，，

这样上述方程组的解可表示为，

3.二阶行列式定义：

4.平面上三点共线的条件：

已知平面上的互异三点，，共线，推导其应满足的条件.

三．阶行列式

由个元素（）排成行列的式子

称之为阶行列式（递归定义）.

2.余子式与代数余子式：

由行列式中划去所在的第行和第列后，余下的元素按照原来的顺序构成的阶行列式，记为，称为元素的余子式，称为元素的代数余子式.

3.阶行列式的定义可以简记为.

4．定义：

由个元素（）组成的阶行列式定义为

其中表示对所有的列标排列求和.

四．例题讲解

例1.求解二元线性方程组.

例2.计算三阶行列式.

例3.计算行列式

.

例4.计算上三角行列式

例5.计算行列式

，

授课序号02

第1章第2节行列式的性质及其应用

行列式的性质、行列式按行（列）展开定理

行列式按行（列）展开定理

掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

一．行列式的性质

1．转置行列式：

将行列式的行与列互换得到的行列式称为行列式的转置行列式，记为或.

2.行列式的性质

性质1.行列式与其转置行列式的值相等.

性质2.互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号.

推论1.若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.

性质3.若行列式的某一行（或列）有公因子,则公因子可以提到行列式记号外面；

或者说，用乘行列式的某一行（或列），等于用乘以该行列式.

推论1.行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的前面.

推论2.如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零.

推论3.若行列式中某一行（列）对应元素全为零，则行列式的值为零.

性质4.若行列式的某一行（列）元素都是两数之和，则可按此行（列）将行列式拆为两个行列式的和.

性质5.把行列式的某一行（列）中每个元素都乘以数，加到另一行（列）中对应元素上，行列式的值不变.

性质6.行列式可以按任意行（列）展开，值不变.

推论：

行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素对应的代数余子式的乘积之和等于零，即

（，）

或

（，）

综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：

二．行列式性质的简单应用

例1.计算.

例2.计算.

例3.计算.

例4.证明.

例5.将分解因式.

授课序号03

第1章第3节行列式的典型计算方法

复习、新知识课

行列式的计算方法：

上（下）三角法、拆分法、降阶法、升阶法、递推法

降阶法、升阶法、递推法

会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

一.上（下）三角法

根据行列式的运算性质，可以把一个行列式化为上（下）三角行列式，从而求得行列式的值，其值即为主对角线元素之积.

二．降阶法

使用阶行列式的定义计算行列式时，一般可利用性质将行列式化为某一行（或列）仅剩一个非零元素，然后按此行（或列）展开，从而达到降阶的目的.

三．升阶法

除了常用的上三角法和降阶法,对于一些具有特殊特征的行列式,我们还可以采取一些较为有效的方法.当行列式的元素较为规范，除了对角线上的元素外其他同列的元素都相等时,可以在行列式的左上角增加一行和一列，使其达到升阶的目的,进而再利用行列式的性质进行计算.为了让行列式的值不变,我们增加的一列除了第一个元素为1外,其它的元素均为零，这种方法称之为升阶法.

四．拆分法

当行列式中存在非常明显的和运算,同时行列式的各行（列）的元素除一两个外都相同,或结构相似时,可先利用性质逐步拆分行列式,然后再进行化简计算.

五．递推法

当行列式除个别的行（列）外，各行（列）所含元素基本相同，且相同的元素呈阶梯状分布时，可以采取递推法求解行列式，即找到相邻阶行列式的递推关系，进而归纳求解.

六．例题讲解

例1．计算行列式.

例2．计算行列式.

例3.计算行列式.

例4.计算行列式.

例5.计算阶行列式：

例6.证明：

阶范德蒙德（Vandermonde）行列式.

例7．计算阶行列式：

.

例8．求方程的根.

例9．证明：

例10.设,计算行列式.

例11.计算阶行列式.

例12.计算行列式.

例13.计算阶行列式：

例14.已知多项式，证明：

有且仅有两个实根.

授课序号04

第1章第4节克莱姆法则

克莱姆法则

会用克莱姆法则

一.克莱姆（Cramer）法则

1．克莱姆法则：

若方程组的系数行列式

则方程组有唯一解

其中是将系数行列式的第列换成常数项所得的阶行列式

2.线性方程组当全为0时，得到称为齐次线性方程组.

3.定理:

若齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组有唯一零解．

推论:

若齐次线性方程组有非零解，则它的的系数行列式．

例1．求解线性方程组

例2．求解线性方程组，其中（，，）.

例3．联合收入问题

有三个股份制公司，，互相关联，公司持有公司70%股份，持有公司20%股份，持有公司30%股份；

公司持有公司60%股份，持有公司20%股份；

公司持有公司30%股份，持有公司20%股份，持有公司50%股份.现设，，公司各自的净收入分别为22万元、6万元、9万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入.