初中数学竞赛二次函数极值问题.docx

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实验二

初二数学超前班（耀华）

第10讲二次函数极值问题

典型例题

一.基本训练

【例1】求函数的最大值和最小值．

【例2】已知关于x的函数，其中，试分别求出下列条件下函数的最大值和最小值．

（1）；

（2）．

【例3】求函数（）的最大值、最小值．

【例4】求函数的最大值和最小值，其中m为常数（）．

【例5】求函数在的最小值．

【例6】设为非零实数，求函数（）的最大值与最小值．

二.巩固提高

【例7】已知，当时，恒成立．求的取值范围．

【例8】二次函数在时，函数的最小值为5，求的值．

【例9】在中，，边上的高，P是上任一点，交于点E，交于点F．

（1）设，将用x表示．

（2）P在BC的什么位置时，最大．

【例10】设二次函数的图象的对称轴是，在x轴的截距的倒数的和为2，且经过点．

（1）试求的值；

（2）当x在什么值时，或？

（3）当x为何值时，y有最大值？

并求最大值．

（4）作出此函数的图象．

【例11】已知抛物线：

和抛物线：

相交于两点．点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间．

（1）求线段的长；

（2）当轴，求长度的最大值．

三.多个字母的极值问题

【例12】已知，，为实数，且，，那么的最小值是多少？

【例13】设，，，求的最大值.

【例14】已知，且，求的最小值．

【例15】若，都是实数，则的最小值是多少？

【例16】实数、、满足，求的最小值．

思维飞跃

【例17】已知，求函数的最大值和最小值．

【例18】已知，对于满足条件的一切实数x，不等式恒成立．当乘积最小时，求的值．

【例19】若二次函数的图像的顶点在第一象限，且经过和，求的取值范围．

【例20】设、为可使方程，至少有一实根的实数，对于所有这样的数对，求的最小值．

作业

1.若函数的自变量x的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定能满足要求的是（）

（A） （B）

（C） （D）

2.设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是（）

（A）等腰三角形 （B）锐角三角形

（C）钝角三角形 （D）直角三角形

3.求函数的最小值．

4.已知t是实数，若是关于x的一元二次方程的两个非负实根，求的最小值．

5.设、为实数，求代数式的最小值．

6.求函数（）的最大值、最小值．

7.二次函数在时，函数的最小值为2，求的值．

8.已知二次函数（其中是正整数）的图象经过点和点，并且与轴有两个不同的交点，求的最大值．

8

思维的发掘能力的飞跃