换元法在中学数学解题中应用及推广Word文档格式.docx
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2.换元法的发展脉络
1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治·
波利亚《怎样解题》.被翻译成16中文字，销售量爆表.著名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：
“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.
1969年，日本著名数学家M山国藏的《数学的精神、思想与方法》.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.
1975年，希拉里·
普特南（H.HilaryPutnam，1926~），美国逻辑学家、科学哲学家发表的《数学、物质与方法》
美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为"
数学奥林匹克"
的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.
1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教案与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了《中学数学的基本思想和方法》等四部专著，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.
汪祖亨在1996年编写的《数学常用解题方法与技巧》不仅总结出一系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教案如何进行应用.
解恩泽、徐本顺主编的《数学思想方法》，欧阳维诚、肖果能及张矗合写的《初等数学思想方法选讲》中，则对换元法这一思想方法进行了较为系统的归纳阐述，为中学数学教案校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的《数学方法与解题研究》，也是把换元法与数学教育紧密结合在一起的论著.
有关换元法解题的专题文章（如用换元法证明不等式，求函数的值域，因式分解等等）也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高中数学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.
随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试卷也被纳入了中学生课外辅导的材料.
3.换元法的概念
表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象（如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等）的文字符号都可以称为“元”.
解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元”，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归.
在中学数学教案活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.
4.换元法在中学解答问题中的应用
一、换元法在方程中的应用
例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：
（1）；
（2）；
（3）；
解：
（1）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：
需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：
，
又∵，
解得这个不等式的解为：
故，当时，方程成立
（2）将看成“元”，用“新元”y代替它，
即则原方程转化为：
，
得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.
（3）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：
当时，新元方程可以化为，即；
当时，新元方程化为，明显无解
综上所述，转换后的新元方程的解为或.
又∵，，即原方程的解为：
这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.
例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：
分析：
这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.
将看成“元”，用“新元”y代替，则
则有：
=
=
故，原有的方程转化为：
，即
∴，，
所以，将新元方程得到的结果带回原方程；
（1），，
即有；
（2），，
（3），，
综上所述，以上三种数都是原方程的解.
二、换元法在解方程组当中的应用
换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的方程组化成为低次的.
例题3.解方程组：
设
则原来方程组可以转化为：
即有，
代回求解x和y的值，即有：
解得，即为原方程的解.
三、换元法在解不等式中的用法
例题5.（第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？
将看做“元”，用“新元”y替换，则；
既有；
故，原不等式可以转化为：
易得；
既；
故；
解得：
故，；
即原不等式解得：
例题6.如果，且满足，请证明：
.
例题4是代数之间的换元，这一题由于，即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.
证明：
令，其中有
则有：
故，原命题得证.
四、换元法在数列方面的应用
例题7.已知数列由循环公式构成，其中求的通项公式是什么？
将看成“元”，用为“新元”替换，既有；
则有
由此可得：
既有：
根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列为：
接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.
例题8.已知在数列中，，求数列的通项公式.
将看成“元”，用“新元”替换，设；
则有的前n项和为：
由
故，
既有，，且；
所以；
故，当，
五、换元法在复数中的应用
复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.
例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数的最小取值为多少？
可以设
∴
又；
根据性质
∴+；
所以，当同向时，即有，；
例题10.设复数满足，其中A是不等于零的复数，请证明：
（1）
（2）
如果这一题按照常规方法设：
转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设则：
已知条件便转化为：
要证明的结论也相应的转化为：
（1），
那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；
六、换元法在三角函数和函数中的应用
利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.
例题11.已知函数，求的值.
方法一：
将“元”x用“新元”替换，则有：
；
我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.
方法二：
设，则有，再设；
（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数，将式子中的看成一个整体进行构造零因子.）
例题12.已知，求的解读式；
本题中是已经知到复合函数的解读式，然后反过来让我们求原函数的解读式，应该将看成一个整体，用一个“新元”替代.
设；
则有，且；
故，函数的解读式为
总结:
上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是含有t的式子.第二，漏了自变量的变化范围，变换后自变量的取值范围变成
例题13.（2009年全国高考文科卷）已知是三角形的三个内角A、B、C，且满足条件：
，求
隐含条件“三角形的内角和为”，且条件给的答案“”，故可以利用进行换元.
例题14.设的值的最大与最小分别是多少？
（1）当时，
有
此时
（2）当
（3）当时，
综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）
本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题.
换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合
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