知识讲解 一次函数和二次函数.docx

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知识讲解一次函数和二次函数

一次函数和二次函数

【学习目标】

1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性；

2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题；

3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。

【要点梳理】

要点一、一次函数的性质与图象

1．一次函数的概念

（1）深刻理解斜率这个概念．

①定义：

一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是一条直线，以后简写为直线y＝kx+b，其中k叫做该直线的斜率．

②用运动的观点理解斜率k．

函数的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k．

③从对图象的单调性的影响上理解斜率k．

当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数．

（2）深刻理解截距b的含义．

①定义：

一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是一条直线，以后简写为直线y＝kx+b，其中b叫做该直线在y轴上的截距．

②b的取值范围：

b∈R．

③b的几何意义：

直线y＝kx+b与y轴的交点的纵坐标．

④点（0，b）是直线y＝kx+b与y轴的交点．当b＞0时，此交点在y轴的正半轴上；当b＜0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．

2．一次函数的图象和性质

一次函数

图象

性质

单调性

奇偶性

k＞0

b＝0

增函数

奇函数

b≠0

增函数

非奇非偶函数

k＜0

b＝0

减函数

奇函数

b≠0

减函数

非奇非偶函数

（1）图象的形状：

一次函数的图象是一条直线，一次函数y＝kx+b，也称作直线y＝kx+b．

（2）图象的画出：

因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

（3）图象的特点：

①正比例函数y＝kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线．

②一次函数y＝kx+b的图象是经过y轴上点（0，b）的一条直线．

（4）画法技巧：

①画正比例函数y＝kx的图象，通常取（0，0）、（1，k）两点连线．②画一次函数y＝kx+b的图象，通常取它与坐标轴的交点（0，b）、两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x和y都是整数的情形．

3．一次函数性质的应用

（1）函数的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k．

（2）当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数．

（3）当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．

（4）直线y＝kx+b与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）．

要点诠释：

一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质可从两方面来理解：

①图象与坐标轴的交点，大家知道x轴、y轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y＝kx+b中分别令x＝0，y＝0，得y＝b，，从而得出直线y＝kx+b与x轴、y轴的交点分别是、B（0，b），这是要熟记的，另外还要知道y＝kx+b与正比例函数y＝kx的图象的平行关系．

②函数的增减性，也就是：

当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．其含义是：

当k＞0时，如果x越来越大，那么y的值也越来越大；当k＜0时，如果x越来越大，那么y的值越来越小．

对于直线y＝kx+b（k≠0）而言：

当k＞0，b＞0时，直线经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，直线经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，直线经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，直线经过二、三、四象限．

4．一次函数的最值问题

求一次函数y＝kx+b（k≠0）在某一区间[a，c]上的值域的方法是：

由于一次函数在某一区间[a，c]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k＞0时，它的值域为[f（a），f（c）]，当k＜0时，它的值域为[f（c），f（a）]．

5．一次函数的保号性及应用

性质1：

已知函数，如果有，，则对任意都有．这个性质称为函数在区间上的保号性．同样，在区间，，上也具有保号性．

性质2：

若一次函数在区间上有，则在内必存在一点x0使．

要点二：

二次函数的性质与图象

1．函数的图象和性质

关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：

函数

图象

开口方向

顶点坐标

对称轴

单调性

最大（小）值

y＝ax2（a＞0）

向上

（0,0）

y轴

在区间上是减函数，在区间上是增函数

当x＝0时，

y＝ax2（a＜0）

向下

（0,0）

y轴

在区间上是增函数，在区间上是减函数

当x＝0时，

要点诠释：

函数中的系数a对函数图象的影响：

（1）当a＞0时，开口向上，a越小，开口越大，在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（2）当a＜0时，开口向下，a的绝对值越小，开口越大，在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减．

2．二次函数的图象和性质

（1）二次函数的图象和性质如下表：

函数

二次函数

图象

a＞0

a＜0

性质

抛物线开口向上，并向上无限延伸

抛物线开口向上，并向下无限延伸

对称轴是直线，

顶点坐标是

对称轴是直线，

顶点坐标是

在区间上是减函数，

在区间上是增函数

在区间上是增函数，

在区间上是减函数

抛物线有最低点，当时，

y有最小值，

抛物线有最高点，当时，

y有最大值，

（2）配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．

对任何二次函数都可通过配方化为：

．

其中，．

（3）关于配方法要注意两点：

①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数；

②找准一次项的系数，加上它的一半的平方（目的是配成完全平方式），再减去这个平方数（目的是保持恒等）．

3．二次函数的解析式

（1）一般式：

．

（2）顶点式：

，顶点（h，k）．

（3）交点式：

，x1，x2为二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标．

求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．

要点诠释：

①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式，a、b、c为常数，a≠0的形式．

②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，则设所求二次函数为顶点式，其中顶点为（h，k），a为常数，且a≠0．

③若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），则设所求二次函数为交点式，a为常数，且a≠0．

4．二次函数的图象画法与平移

（1）二次函数的图象的画法：

因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：

①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：

（i）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴；

（ii）求抛物线与坐标轴的交点．

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D．由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后连线，画出二次函数的图象．

（2）二次函数的平移规律．

任意抛物线都可转化为的形式，都可由的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．

即上述平移规律“h值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．

5．二次函数的最值求解

二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．

（1）从函数的解析式来研究，对于，通过配方可化为的形式，再对进行研究．

一般地，对于二次函数，

当a＞0时，y有最小值；

当a＜0时，y有最大值．

（2）从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线，一般描出五个点可画出图象．二次函数的图象如图所示．

当a＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y有最小值，最小值是；

当a＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y有最大值，最大值是．

6．二次函数的对称轴及其应用

根据教材中例题知道对称轴为x＝-4，由此推导出．反过来，如果已知，则可得该函数的对称轴为x＝-4．现总结如下：

（1）若某函数（不一定是二次函数）满足（a为常数），则该函数的对称轴为x＝a．

（2）若某函数（不一定是二次函数）满足（a为常数），则该函数的对称轴为x＝a．

（3）若某函数（不一定是二次函数）满足（且a，b为常数），则该函数的对称轴为．

实际上

（2）与

（1）是等价的，在

（1）中令a+x＝t，则x＝t-a，

∴，∴，即．

要点三、待定系数法

1．待定系数法的定义

（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.

（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组

①用特殊值法列方程组；

②根据多项式恒等定理列方程组；

③利用定义本身的属性列方程（组）；

④利用几何条件列方程（组）。

（3）待定系数法的理论根据是多项式恒等定理，即

如果，那么。

2．待定系数法求解题的基本步骤

（1）设出含有待定系数的解析式；

（2）根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；

（3）解方程（组），求出待定系数的值，从而写出函数解析式.

【典型例题】

类型一：

一次函数的图象和性质

例1．已知为一次函数且满足，求函数在[-1，1]上的最大值，并比较和的大小．

【思路点拨】设，根据题目条件求出和，然后去求和。

【答案】11

【解析】解法一：

设，

由已知可得，

．

整理得，．

∴解得

∴在[-1，1]上为减函数（在R上也是减函数）．

∴函数在[-1，1]上的最大值为且．

解法二：

∵函数为一次函数，

∴在[-1，1]上为单调函数，

∴在[-1，1]上的最大值为与中之一．

分别取x＝0和x＝2得

解得，．

∴函数在[-1，1]上的最大值为．

又∵，

∴在R上是减函数．

∴．

【总结升华】求一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解．求一次函数解析式时待定系数法是常用的方法．

举一反三：

【变式1】对于每一个，设取，，三个函数中的最小值，用分段函数写出的解析式，并求的最大值．

【答案】

【解析】这是教材中的一道练习题．取，，三个函数中的最小值．于是的解析式为：

，

的最大值为＝．

例2.设函数f（x）=（3a-1）x+b-a，x∈[0，1]，若f（x）≤1恒成立，求a+b的最大值.

【思路点拨】为使得函数在[0，1]上恒有f（x）≤1成立，只需使f（x）在区间[0，1]上的最大值不大于1即可，但解析式中一次项系数含字母，故需分情况讨论