巧用直线的参数方程解题方法Word文件下载.docx
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(t为参数,为直线的倾斜角)
t的几何意义是:
t表示有向线段的数量,为直线上任意一点。
2.1.1用直线的参数方程求弦长相关问题
如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交,要求求直线被截的弦长。
我们把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里,然后韦达定理和参数t的几何意义得出弦长。
例1过点有一条倾斜角为的直线与圆相交,求直线被圆截
得的弦的长。
分析:
1、考虑点P在不在圆上;
2、这个题目如果用一般方
法解就要写出直线方程,
然后代入圆方程,要想
求出弦长过程比较复杂、
计算量大;
3、适合运用直线的参数方
程进行求解。
解:
把点代入圆的方程,得
所以点P不在圆上,在圆
可设直线与圆的交点分别为A、B两点
由题意得直线的参数方程为
,(t为参数)
代入圆的方程,得
整理后得①
因为Δ=
设①的两根为,即对应交点A、B的参数值,由韦达定理得
;
由t的几何意义,得弦长
评注:
此类求弦长的问题,一般方法得求出直线与二次曲线的两个
交点坐标,然后用两点间的距离公式求出弦长,这样计算量
会比较大,而运用直线的参数方程参数方程去解,根据参数t
的几何意义和韦达定理就能比较简捷的求出弦长。
小结:
我们在运用直线的参数方程解决求弦长问题时,发现在解决例1
此类题型时有一定的规律,这个规律在解决此类问题时可以当
公式来用,对解题速度很有帮助的。
下面我对这个规律进行阐述:
问题1求二次曲线
①
截直线
(t是参数,为直线的倾斜角)②
所得的弦的长。
有①和②消去整理后,若能得到一个关于参数t的二元
一次方程:
③
则当有Δ=,截得的弦长为
(公式一)
证明:
设为③的两个实根,根据韦达定理有
④
又设直线与二次曲线的两个交点为,则
,⑤
根据两点的距离公式,由④,⑤得弦长
(证毕)
上述公式适用于已知直线的倾斜角,那如果已知直线的斜率呢?
问题2求二次曲线
,(t是参数,直线的斜率为)②
(公式二)
利用上述公式我再举个例
例2若抛物线截直线所得的弦长是,求的值。
由直线的方程,得
直线的斜率k==2,且直线恒过点
∴该直线的参数方程为
把参数方程代入抛物线方程,整理后得
因为t是实数,所以Δ=
由公式二,有
解得
评注:
我们通过运用直线的参数方程得到了公式一和公式二,在
解决关于弦长问题时运用公式一或者公式二解题就会更加
方便。
如果题目已知的是直线的倾斜角,就应该考虑用公
式一;
如果题目已知的是直线的斜率,就应该先考虑用公
式二。
2.1.2运用直线的参数方程解中点问题
例3已知经过点,斜率为的直线和抛物线相交
于A,B两点,若AB的中点为M,求点M坐标。
设过点的倾斜角为,则,
则,
可设直线的参数方程为
(t为参数)
把参数方程代入抛物线方程中,整理后得
设为方程的两个实根,即为A,B两点的对应参数,根据韦达定理
由M为线段AB的中点,根据的几何意义可得
所以中点M所对应的参数为,将此值代入直线的参数方程里,得
M的坐标为
即
在直线的参数方程中,当时,则的方向向上;
当
时,则的方向向下,所以AB中点M对应的参数t的值是,
这与求两点之间的中点坐标有点相似。
2.1.3运用直线的参数方程求轨迹方程
运用直线的参数方程,我们根据参数t的几何意义得出某些线段的
数量关系,然后建立相关等式,最后可得出某动点的轨迹。
例4过原点的一条直线,交圆于点,在直线上取一
点,使到直线的距离等于,求当这条直线绕原点旋转时点
的轨迹。
解:
设该直线的方程为
,t为参数,为直线的倾斜角
把直线方程代入圆方程,得
即
根据公式一,可得
,
可设点坐标为,起对应的参数值为t,则有,
因为,所以
易知,点到直线的距离是,即;
由题意有=
等式两边同时平方,化简后得
解得或
当时,轨迹的一支为;
当时,,从而得另一支轨迹即;
因此所求轨迹系是由圆和直线组成。
评注:
遇到此类题目,考虑运用直线的参数方程先把弦长求出来,
在根据题意建立相关等式,根据等式消元化简得出结果,本
题的关键主要是建立等式=。
2.1.4运用直线的参数方程证明相关等式
运用直线的参数方程,根据参数t的几何意义,我们可以得到一些
线段的数量关系,对证明一些几何等式很有帮助。
例5设过点的直线交抛物线于B、C,求证:
设过点的直线的参数方程为
(t为参数,为直线的倾斜角)
因为直线与抛物线交B、C两点,故。
把直线参数方程代入抛物线方程,整理后得
设为两根,即点B、C的对应参数值,根据韦达定理得
;
根据参数t的几何意义有AB=,AC=,所以
在证明一些相关等式问题时,引用直线的参数方程辅助证明,
会让证明思路更加清晰易懂,在证明过程中根据参数t的几何
意义,用参数t去替换其它变量,把所要证的等式化繁为简。
2.2在空间中用直线的参数方程解题
在空间中过点,方向向量为的直线的坐标式参数方程为,(t为参数)直线标准方程为:
。
2.2.1用空间直线的参数方程求柱面和锥面方程
已知柱面、锥面的准线方程,可以根据母线的参数方程或者标准方程
很方便的求出柱面或者锥面方程。
例6若柱面的母线的方向向量,准线方程是,
求柱面方程。
设为准线上任意一点,过点的母线的参数方程为
,(为参数)即
代入准线方程得
消去参数t,可得到所求柱面方程
此题假设准线上任意一点,然后过此点写出对应的参数方程,
通过参数t的引入便可变形代入相关方程,最终消去参数t得
到所求柱面方程。
例7已知锥面顶点为,准线为,求锥面的方程。
设为准线上任意一点,连接点与顶点的
母线为
,
将它们的比值记为,得
,(t为参数)
代入所满足的方程,得
消去t,由上式的第二式得
,代入第一式,
化简整理后得锥面的一般方程为
此题的关键是母线方程的表示,然后引入参数t,得到一个参数方程。
通过参数t代入化简得出所求的锥面方程。
2.2.2用空间直线的参数方程求空间轨迹
空间的点或者直线的轨迹的空间解析几何的一个重要课题,是重点
也是难点,在求解过程中,通常非常复杂,但对于某些轨迹问题,运
用直线的参数方程去解决会相对简单。
例8一直线分别交坐标面于三点A、B、C,当直线变动时,直线上的三定点A、B、C也分别在三个坐标面上变动,另外直线上有第四个点P,它与A、B、C三点的距离分别为、b、c。
当直线按照这样的规定(即保持A、B、C分别在三坐标面上变动),试求P点的轨迹。
设点P的坐标为,直线的方向余弦为。
则直线的参数方程为,(t为参数)
令,即的与面的交点A,根据t的几何意义,,则。
同理可得,,。
由以上三式可得
所以P点轨迹方程为,是一个椭球面。
通过运用直线的参数方程,然后根据t的几何意义,用t去表示
点P的坐标,通过观察代入某式子得出轨迹方程。
2.2.3用空间直线的参数方程求对称点
运用空间直线的参数方程我们可以求出定点关于定平面、定直线对
称的点的坐标。
例9求定点关于定平面的对称点。
分析:
1、可设对称点为点;
2、点和点到平面的距离是相等的;
3、与平面是垂直的。
设是所求的对称点,则平面到和的有向距离是等值异号,即
化简后得
(1)
又的一组方向向量为,由于与平面垂直,故有
(t为参数)
即,
(2)
把
(2)代入
(1),得
解得,t=代入
(2),得
即所求的对称点为。
此题的关键是根据与平面垂直引入参数t,然后用参数t表示
其它未知量,通过代入求出参数t的值,所求的未知量也就相应
得出。
结语
我们运用直线的参数方程对以上例题进行解答,在解题过程中,我们能体会到直线的参数方程的魅力所在,它使我们在解决某类问题时可以化繁为简、容易理解。
从中我们还发现直线参数方程的参数t和韦达定理的和谐统一,这会让我们发现数学中的一种美,从某种意义上说它是一种简洁美,它让我们在解题过程中更加简单、更有效率。
而且直线参数方程的加盟,为我们的解题带来了无穷的想象空间和更为广阔的解题思路,正是因为直线参数方程给我们带来如此多的便捷和快乐,所以掌握用直线的参数方程解题的方法应该是我们不二的选择。
参考文献
[1]耿铃.巧用直线的参数方程解题例说[J].中学数学,2009,(8).
[2]培杰.新编中学数学解题方法全书[M],高中版.:
工业大学,2011.
[3]吴业分、肖利华.浅谈直线参数方程及应用[J].中国教科创新导刊,2009,(537).
[4]养成.空间解析几何[M],新版.:
科学,2007.
[5]许伟.空间直线参数方程应用初探[J].教育学院学报,1988,
(1).