数学平行四边形复习题及解析文档格式.docx
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（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．
①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；
若不存在，请说明理由．
5．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：
AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°
，求∠POE的度数；
（3）在
（2）的条件下，若OE＝，求CE的长．
6．如图，菱形纸片的边长为翻折使点两点重合在对角线上一点分别是折痕．设．
（1）证明：
；
（2）当时，六边形周长的值是否会发生改变，请说明理由；
（3）当时，六边形的面积可能等于吗?
如果能，求此时的值；
如果不能，请说明理由．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．
（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．
8．已知：
如图，在中，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接．
四边形是菱形；
（2）若，AE=5，则求菱形的面积．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=30，CD=10，F是BC的中点，P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；
Q沿着路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点P，Q同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，问：
（1）经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一半？
10．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．
（2）过点F作于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：
NH=FM
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
1．
（1）①6；
②结论：
（2）为4和16．
【分析】
如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作的平分线交BC于点P，点P即为所求理由勾股定理可得DE．
如图2中，结论：
只要证明，即可解决问题．
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：
如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作的平分线交BC于点P，点P即为所求．
在中，，，，
，
故答案为6．
．
理由：
由翻折不变性可知：
，，
垂直平分线段BE，
即，
如图中，当点Q在线段CD上时，设．
在中，，
如图中，当点Q在线段DC的延长线上时，
综上所述，满足条件的DQ的值为4或16．
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．
（1）；
（2）证明见解析；
（3）；
理由见解析．
（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
（1）由题意得，，，
则，
∵，，∴
（2）∵，，∴，
∵，，∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴时，四边形是平行四边形，
即，解得，，
∵，∴四边形是矩形，
∴时，四边形是矩形．
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
3．
（1）①证明见详解；
②，见解析；
（2）5．
（1）①只要证明即可解决问题；
②如图2中，连接QC，作交QC的延长线于T，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）如图3中，延长EH交BC于点G，设AE=x，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x，然后可得CG=2x，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．
（1）①证明：
四边形ABCD是正方形，，，
四边形APBC是平行四边形；
②
四边形PADQ是平行四边形，，
，，四边形PQCB是平行四边形，
，，，
DQ=DT，，
AD=DC，，，
，；
（3）CH=5，理由如下：
如图3所示：
延长EH交BC于点G；
四边形ABCD是正方形，AB=BC，，
又EH=3，FH=1，EH⊥AD，，
设AE=x，，AB=BC=CF=EG=3x，
CG=2x，HG=3x-3，CH=3x-1
在中，，解得
当x=1时，AB=3（不符合题意，舍去）；
当x=2时，AB=6，CH=5．
故答案为5．
本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．
4．
（1）①等腰；
②；
（2）①2；
②存在，或
（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；
②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE＝AE；
（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°
，则∠ABE＝30°
，由直角三角形的性质得BE＝2AE，AB＝AE＝，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；
②当点F在边BC上时，得S△BEF≤S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的性质得CE＝CB＝2，即EF＝2；
当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝KF•AH≤HF•AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF•BH≤HF•BH＝S矩形BCFH，得S△BEF≤S矩形ABCD＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝CD＝，点E与点A重合，由勾股定理求出EF即可．
（1）①由折叠的性质得：
EF＝BF，
∴BEF是等腰三角形；
故答案为：
等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：
AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AE；
BE＝AE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°
∴∠ABE＝90°
﹣60°
＝30°
∵∠A＝90°
∴BE＝2AE，AB＝AE＝，
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB＝，BC＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×
BC＝×
2＝6，
第一种情况：
当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：
S△BEF≤S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，
CE＝CB＝2，
即EF＝2；
第二种情况：
当点F在边CD上时，
过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：
∵S△EKF＝KF•AH≤HF•AH＝S矩形AHFD，S△BKF＝KF•BH≤HF•BH＝S矩形BCFH，
∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤S矩形ABCD＝3，
即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，
此时，DF＝CD＝，点E与点A重合，BEF的面积为3，
∴EF＝＝；
综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为2或．
此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
5．
（1）详见解析；
（2）30°
（3）2
（1）利用正方形的性质，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°
，进而判断△ADE≌△CDE得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°
，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC，与
（2）同理得到∠POC＝60°
，则△EOC为直接三角形，再应用勾股定理求得.
证明：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°
∵∠PBC＝30°
∴∠PBE＝15°
∵PE⊥BD，O为BP的中点，
∴EO＝BO＝PO，
∴∠OBE＝∠OEB＝15°
∴∠EOP＝∠OBE＋∠OEB＝30°
（3）如图，连接OC，
∵点O是BP的中点，∠BCP＝90°
∴CO＝BO，
∴EO＝CO＝，∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠POC＝60°
∴∠EOC＝∠EOP＋∠POC＝90°
∵EC2＝EO2＋CO2＝4，
∴EC＝2.
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.
6．
（1）见解析；
（2）不变，见解析；
（3）能，或
（1）由折叠的性质得到BE=EP，BF=PF，得到BE=BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；
（2）由菱形的性质得到BE=BF，AE=FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠
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