高考数学二轮复习专题六计数原理概率第1讲排列组合二项式定理文档格式.docx

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3．（2018·

全国Ⅰ卷）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种（用数字填写答案）．

解析　法一　可分两种情况：

第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12（种）；

第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4（种）．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．

法二　从6人中任选3人，不同的选法有C＝20（种），从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16（种）．

答案　16

4．（2018·

全国Ⅲ卷）的展开式中x4的系数为（　　）

A．10B．20C．40D．80

解析　Tr＋1＝C（x2）5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×

22＝40.

答案　C

考点整合

1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；

如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．

2．排列与组合

名称

排列

组合

相同点

都是从n个不同元素中取m（m≤n）个元素，元素无重复

不同点

①排列与顺序有关；

②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同

①组合与顺序无关；

②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同

3.二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，其中各项的系数C（k＝0，1，…，n）叫做二项式系数；

展开式中共有n＋1项，其中第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk（其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*）称为二项展开式的通项公式.

热点一　两个计数原理

【例1】

（1）（2018·

金华质检）从1，1，2，2，3，3六个数字中取出四个数字构成四位数，要求相同数字不能相邻，则满足条件的四位数有________个．

（2）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（　　）

A．20种B．21种C．22种D．24种

解析　

（1）如果取出的数字是aabb：

第一步，取数字，有C种取法；

第二步，组成四位数，有2种排法；

共有C×

2＝6（种）．

如果取出的数字是aabc：

第二步，组成四位数，先排bc有2种排法，再将两个a插入到由b，c隔开的三个位置，有C种排法；

2×

C＝18（种）．从而总共有24个满足条件的四位数．

（2）分类讨论．

当广告牌没有蓝色时，有1种结果；

当广告牌有1块蓝色时，有C＝6（种）结果；

当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有C＝10（种）结果；

当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色，有C＝4（种）结果；

由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌．

根据分类加法计数原理有1＋6＋10＋4＝21（种）结果．故选B.

答案　

（1）24　

（2）B

探究提高　

（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

【训练1】

（1）某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是（　　）

A．24B．32C．48D．84

（2）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（　　）

A．18种B．24种C．36种D．48种

解析　

（1）首先安排文科学生，文科两个班的学生有A种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有A×

A种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A×

A×

A＝24（种），故选A.

（2）若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12（种），若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12（种），若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6（种），

若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6（种），

根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．故选C.

答案　

（1）A　

（2）C

热点二　排列、组合

【例2】

（1）（2018·

杭州调研）三位女生坐到二排四列的8个位子中，要求同列中最多只有一个女生，同排中任两个女生不相邻，则不同的坐法数为________．

（2）（2018·

稽阳联谊学校联考）将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法的种数是________．

解析　

（1）由已知有一排有一个女生，另外一排有两个女生．

选一个女生到其中一排有：

CC种方法；

当所选女生在所在排的两侧时，每种情况下其他两个女生有2种坐法，共4种方法；

当所选女生在所在排的中间两个位置时，每种情况下其他两个女生有4种坐法，共8种方法；

所以共有CC×

（4＋8）＝72（种）方法．

（2）由题意得3组人数有3，3，1和3，2，2两种情况，当3组人数分别为3，3，1时，有种分组方法；

当3组人数分别为3，2，2时，有种分组方法，所以不同的分组方法的种数是＋＝175.

答案　

（1）72　

（2）175

探究提高　求解排列、组合问题的思路：

排组分清，加乘明确；

有序排列，无序组合；

分类相加，分步相乘．

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．

【训练2】

（1）（2018·

丽水测试）将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1，2，…，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有（　　）

A．98种B．196种C．252种D．336种

（2）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个（用数字作答）．

解析　

（1）若每个盒子最多放一个球，则有A＝210（种）；

若有一个盒子放了两个球，则有CA＝126（种），故共有210＋126＝336（种）放法，故选D.

（2）当不含偶数时，有A＝120个，

当含有一个偶数时，有CCA＝960个，

所以这样的四位数共有1080个．

答案　

（1）D　

（2）1080

热点三　二项式定理

【例3】

（1）（2018·

宁波调研）设（1＋x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中x，ai∈R，i＝0，1，…，6.则a2＋a4＋a6＝（　　）

A．63B．64C．32D．31

湖州模拟）在二项式的展开式中，含x的项的二项式系数是________，系数是________．

解析　

（1）采用赋值法，分别令x＝0，－1，1，可得到

则a2＋a4＋a6＝31，故选D.

（2）因为展开式的通项公式Tr＋1＝C（x2）5－r＝（－2）rCx10－3r，令10－3r＝1，所以r＝3，则含x的项的二项式系数是C＝10，系数是C（－2）3＝－80.

答案　

（1）D　

（2）10　－80

探究提高　

（1）在应用通项公式时，要注意以下几点

①它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；

②Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；

④对二项式（a－b）n的展开式的通项公式要特别注意符号问题．

（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

【训练3】

（1）（2018·

台州月考）若二项式的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x项的系数为（　　）

A．1B．5C．10D．20

天津卷）在的展开式中，x2的系数为________．

解析　

（1）令x＝1，则2n＝32，n＝5，所以的展开式的通项公式Tr＋1＝

C＝Cx－.令－＝1，解得r＝1，所以该展开式中含x项的系数为C＝5.故选B.

（2）的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝Cx5－，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C＝.

答案　

（1）B　

（2）

1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．

2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

3．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．

4．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．

5．二项展开式共有n＋1项；

各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n.

6．通项Tk＋1＝Can－kbk是（a＋b）n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.

7．区别（a＋b）n的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，第k＋1项的二项式系数是C，只与n和k有关，恒为正.

一、选择题

1．5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：

“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；

对乙说：

“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（　　）

A．54B．72C．78D．96

解析　由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A＝24（种），乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有A＝6（种），故有6×

3×

3＝54（种），所以一共有24＋54＝78（种）．

2．某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（　　）

A．60B．40C．120D．240

解析　由题意得，先将4名大