拉普拉斯方程分离变量法Word文档格式.docx

拉普拉斯方程分离变量法Word文档格式.docx

《拉普拉斯方程分离变量法Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拉普拉斯方程分离变量法Word文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。

球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。

拉氏方程在球坐标系中的通解为

（4.4---2）

式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。

P（cosθ）为缔和勒让德（Legendre）函数。

若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为

（4.4---3）

Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。

在每一个没有电荷分布的区域内，φ满足拉普拉斯方程，其通解已由（4.4---2）或（4.4---3）式给出，剩下的问题就是由边界条件确定这些通解中所含的任意常数，得到满足边界条件的特解。

下面举一些具体例子说明定特解的办法。

例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1<

R2）。

使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。

解这问题有球对称性，电势φ不依赖于角度θ和φ，因此可以只取（4.4---3）式的n=0项。

设导体壳外和壳内的电势为

（）

（）（4.4---4）

边界条件为：

（1）因内导体球接地，故有

（4.4---5）

（2）因整个导体球壳为等势体，故有

（4.4---6）

（3）球壳带总电荷Q，因而

（4.4---7）

把（4.4---4）式代入这些边界条件中，得

由此解出

（4.4---8）

其中

把（4.4---4）式代入这些边界条件中，得电势的解

（4.4---9）

导体球上的感应电荷为

（4.4---10）

例2电容率为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。

解介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚电荷。

这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场E0上，得总电场E。

束缚电荷分布和总电场E互相制约，边界条件正确地反映这种制约关系。

设球半径为R0，球外为真空（图2-5）。

这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。

介质球的存在使空间分为两均匀区域——球外区域和球内区域。

两区域内部都没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉斯方程。

以φ1代表球外区域的电势，φ2代表球内的电势，由（4.4---3）式,两区域的通解为

（4.4---11）

（4.4---12）

an,bn,cn,和dn是待定常数。

边界条件包括：

（1）无穷远处，E→E0,由第一节例1得

（4.4---13）

因而

，（）（4.4---14）

（2）R=0处，φ2应为有限值，因此

（4.4---15）

（3）在介质球面上（R=R0）,

，（4.4---16）

把（4.4---11）和（4.4---12）式代入得

（4.4---17）

比较P1的系数得

（4.4---18）

由（4.4---18）式解出

（4.4---19）

比较（4.4---17）式其他Pn项的系数可解出

（4.4---20）

所有系数已经定出，因此本问题的解为

（4.4---21）

现在讨论此解的物理意义。

由（4.4---21）式，球内的电场为3ε0E0/（ε+2ε0），因为3ε0/（ε+2ε0）总小于1，所以球内的电场比原外场E0为弱，这是由于介质球极化后在右半球面上产生正束缚电荷，在左半球面上产生负束缚电荷，因而在球内束缚电荷激发的场与原外场反向，使总电场减弱。

在球内总电场作用下，介质的极化强度为

（4.4---22）

介质球的总电偶极矩为

（4.4---23）

（4.4---21）式φ1中的第二项是这个电偶极矩所产生的电势

（4.4---24）

例3半径为R0的导体置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度。

解用导体表面边界条件（1.11a）和（1.12a），找上例方法可解出导体球外电势

（4.4---25）

导体面上电荷面密度为

（4.4---26）

读者可自行推导并讨论所得结果。

静电学某些应用和以上两例有关。

例如静电选矿就是利用非均匀电场对介质颗粒的吸引力来分选矿粒的。

在非均匀电场中，若在颗粒体积之内电场变化不大，则介质颗粒的偶极矩大致上由（4.4---23）式表示，其中E0为颗粒所在处的外电场。

颗粒极化后受到非均匀电场的吸引力，吸引力的大小依赖于ε，由此可以分选不同矿质的颗粒。

例4导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场。

解用柱坐标系。

取z轴沿尖边。

设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为0≤θ≤2π−α（α为小角）。

因φ不依赖于z，柱坐标下的拉氏方程为

（4.4---27）

用分离变量解此方程。

设φ的特解为φ=R（r）Θ（θ），则上式分解为两个方程

其中ν为某些正实数或0。

把φ的特解叠加得φ的通解

（4.4---28）

各待定常量和ν的可能值都由边界条件确定。

在尖劈θ=0面上，φ=V与r无关，由此

因r→0时φ有限，得

在尖劈θ=2π−α面上，有φ=V，与r无关，必须

因此ν的可能值为

（4.4---29）

考虑这些条件，φ可以重写为

（4.4---30）

为了确定待定常量An，还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域，并给定这曲面上的边界条件。

因此，本题所给的条件是不完全的，还不足以确定全空间的电场。

但是，我们可以对尖角附近的电场做出一定的分析。

在尖角附近，r→0，（4.4---30）式的求和式的主要贡献来自r最低幂次项，即n=1项。

因此，

（4.4---31）

电场为

（4.4---32）

尖劈两面上的电荷面密度为

（4.4---33）

若α很小，有ν1≈1/2，尖角附近的场强和电荷面密度都近似地正比与r−1/2。

因此可见，尖角附近可能存在很强的电场和电荷面密度。

相应的三维针尖问题就是尖端放电现象。

课下作业：

第71-73页，第6，7，8，18题。

6.在均匀外电场中置入一带均匀自由电荷的绝缘介质球（介电常数）求空间各点的电势。

7.在一很大的电解槽中充满电导率为的液体，使其中流着均匀的电流，今在液体中置入一个电导率为的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布：

讨论及两种情况的电流分布的特点。

8.半径为的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为处

（）置一点电荷，试用分离变量法求空间各点的电势，证明所得的结果与电象法结果相同。

18.一半球为的球面，在球坐标的半球面上的电势为，在的半球面上为，求空间各点电势。

补充题：

1．半径为R0电容率为的介质球置于均匀外电场E0中（真空），求空间电势和电场分布。

取介质球球心处的电势为零。

2．半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电势和导体上的电荷面密度。

3．在均匀外电场E0中置人—带均匀自由电荷的绝缘介质球（电容率），求空间各点的电势和电场分布。

第23讲课下作业解答

第72页，第9，10，11，12，13题。

9.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a（a<

R1）处放置一点电荷Q。

用镜像法求电势分布。

导体球上的感应电荷有多少？

分布在内表面还是外表面？

解：

球壳内：

∴

（1）

（2）

：

（3）

（4）

解得：

球外：

∴电力线终止在内表面内

∴导体上的感应电荷为分布在内表面。

10.空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a（a<

导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使其有确定电势，试求这两种情况的电势。

又问与Q0是何种关系时，两情况的解是相等的？

若电势为

当时，两种情况是相等的。

11.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（b＞a），试用电像法求空间电势．

解：

为满足球面上电势为零，上半球中像电荷为

为满足面上势为零，球心有与平面对称的像电荷

所以：

其中

12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。

可以构造如图所示的三个像电荷来代替两导体板的作用。

13.设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体，取该两平面为面和面，在和两点分别置正负电极并通以电流，求导电液体中的电势。

无限空间时：

1.设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体设，为满足器壁（边界上），应有三对像电极（即三个像电流）

）

2.设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零，即，为满足器壁（边界上），应有三对像电极（即三个像电流）

1、什么能用镜像法处理静电势问题，给出使用镜像法的原则。