黑龙江省大庆市届高三第二次模拟考试数学理试题文档格式.docx
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7.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,由此推算三棱锥的体积为()
8.已知是抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于,两点,为线段的中点,若,则直线的斜率为()
A.3B.1C.2D.
9.已知函数,的值域为,则的取值范围是()
10.某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥4个侧面中,直角三角形共有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
11.已知双曲线的右焦点为,过作双曲线渐近线的垂线,垂足为,直线交双曲线右支于点,且为线段的中点,则该双曲线的离心率是()
A.2B.C.D.
12.已知是定义在上的可导函数,且,则不等式的解集为()
二、填空题
13.______.
14.已知,为锐角,且,则_____.
15.已知球是棱长为4的正方体的外接球,,分别是和的中点,则球截直线所得弦长为______.
16.已知为的外心,,,,设,则_____.
三、解答题
17.设数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.在中,内角,,所对的边分别为,,,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,面积为1,求边中线的长度.
19.如图所示,在四棱锥中,平面,,,AP=AD=2AB=2BC,点在棱上.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)当平面时,求直线与平面所成角的正弦值.
20.已知椭圆的离心率为,短轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?
若是,求出定点坐标;
若不是,请说明理由.
21.已知函数.
(Ⅰ)若点在函数的图象上运动,直线与函数的图象不相交,求点到直线距离的最小值;
(Ⅱ)若当时,恒成立,求实数的取值范围.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的普通方程;
(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线与交于,两点,交轴于点,求的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)求函数的值域.
参考答案
1.D
【分析】
解一元二次不等式求得集合的具体范围,然后求两个集合的交集,从而得出正确选项
【详解】
由解得,故.故选D.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念及运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.A
利用复数乘法和除法运算,化简为的形式,再求的模.
依题意,故.故选A.
本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数的除法运算,考查复数的模,属于基础题.
3.A
【解析】
先判断命题和命题的真假,再根据命题的逻辑关系求解.
在定义域上不是减函数,故命题是假命题,
时奇函数,故命题是真命题,
则为真命题,其余为假命题.
故选A.
本题考查命题的逻辑关系.属于基础题.
4.B
试题分析:
作出可行域:
,并作出直线,平移到经过点E(3,4)时,目标函数取得最小值为:
故选B.
考点:
线性规划.
5.A
利用韦达定理列出,的关系式,然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值.
由于,是方程的两个实根,所以,所以.故选A.
本小题主要考查等差数列的基本性质,考查一元二次方程根与系数关系,属于中档题.
6.C
利用对数运算的公式化简为形式相同的表达式,由此判断出的大小关系.
依题意得,,,而,所以,故选C.
本小题主要考查对数的运算公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
7.D
根据圆锥侧面展开图是半径为的半圆,计算出圆锥的体积,也即是三棱锥的体积.
设圆锥的底面半径为,则,解得,故圆锥的高为,所以圆锥的体积也即三棱锥的体积为.故选D.
本小题主要考查圆锥侧面展开图与底面圆的半径的关系,考查中国古代数学文化,属于基础题.
8.B
根据求得的值,利用点差法求得直线的斜率.
由于为中点,根据抛物线的定义,解得,抛物线方程为.设,则,两式相减并化简得,即直线的斜率为,故选B.
本小题主要考查抛物线的定义,考查利用点差法求解有关弦的中点问题,属于中档题.
9.C
先由的取值范围,求得的取值范围,结合函数的值域,求得的取值范围.
由于,所以,由于,所以,解得.故选C.
本小题主要考查三角函数值域,考查三角函数的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
10.A
画出三视图对应的直观图,根据直观图,判断出个侧面中有几个直角三角形.
画出三视图对应的四棱锥如下图所示.由三视图可知是直角三角形.而,所以,即为直角三角形.所以直角三角形一共有个,故选A.
本小题主要考查三视图和直观图,考查空间想象能力,属于基础题.
11.D
先求得点的坐标,根据中点坐标公式求得点坐标,将点坐标代入双曲线方程,化简后求得双曲线的离心率.
由于双曲线焦点到渐近线的距离为,所以,所以,由于是的中点,故,代入双曲线方程并化简得,即,.
本小题主要考查双曲线的几何性质,考查双曲线焦点到渐近线的距离,考查中点坐标公式,考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值,这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率,可从一个等式中得到,本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式,由此解出双曲线的离心率.
12.B
构造函数,利用已知条件求得的正负,由此判断函数的单调性,并解出不等式的解集.
由得,构造函数,,故为上的减函数.原不等式可转化为,即,所以,解得,故选B.
本小题主要考查函数导数运算,考查利用导数判断函数的单调性,考查构造函数法解函数不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.题目给定一个含有导数的式子,此类题目主要的解题方法是构造函数法,构造出符合题目已知条件的函数,通过所给的条件得出所构造函数的单调性,由此来解不等式.
13.
利用微积分基本定理计算出定积分.
依题意.
本小题主要考查利用微积分基本定理计算定积分,考查原函数的求法,属于基础题.
14.
将题目所给方程展开后,化简为的形式,由此求得的大小.
将展开得,即,由于,为锐角,,故.
本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简,考查特殊角的三角函数值,属于中档题.
15.
先求得球心到直线的距离,然后利用勾股定理求得所求弦长.
依题意可知球心为正方体体对角线的交点处,将球心和投影到平面内,画出图像如下图所示,由图可知到直线的距离为.由于球的半径等于正方体对角线的一半,即,根据勾股定理求得所求弦长为.
本小题主要考查正方体的外接球,考查与球有关的长度的计算,考查空间想象能力,属于中档题.与球有关的问题求解的关键在于找到球心的位置,本题由于几何体为正方体,球心在体对角线的中点处.求与球有关的弦长问题,主要先求得球心到弦的距离,然后利用勾股定理可求出弦长.
16.3
以为坐标原点建立平面直角坐标系,计算出外心的坐标,由此求得的值.
以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示,根据已知条件可知.根据外心的几何性质可知在直线上.中点坐标为,的斜率为,故中垂线的斜率为,方程为,令,解得.由得,解得,所以.
本小题主要考查向量的坐标运算,考查利用向量求解有关平面几何的问题,考查外心的定义以及找外心的方法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.由于题目涉及到向量的运算,而且题目所给三角形的角度比较特殊,故可采用建立坐标系的方法,利用代数化来解决几何问题.
17.
(1)
(2)
(1)利用,求得数列{}是等比数列,由此求得数列的通项公式.
(2)先求得的通项公式,然后利用裂项求和法求得的值.
(Ⅰ)当时,由得,∴.
当时,,∴.
∴是以为首项,以为公比的等比数列.其通项公式为.
(Ⅱ)∵
∴
本小题主要考查利用求数列的通项公式,考查利用裂项求和法求数列的前项和.属于中档题.
18.
(1)
(2)
(1)利用三角形内角和定理以及正弦定理化简已知条件,求得的值,利用齐次方程求得的值.
(2)根据
(1)求得的值,求出的值,根据三角形的面积列方程,求得的值,利用余弦定理求得的值,然后可利用余弦定理、向量的模或者平行四边形的性质,求得边中线的长.
(Ⅰ)∵,∴,
由正弦定理得
∵,∴,∴.
∴.
(Ⅱ)∵,且,∴为锐角.且,∴,
∵,∴.
在中,由余弦定理得,.
设边的中点为,连接.
法一:
在,中,分别由余弦定理得:
∴,∴.
法二:
∵,∴,.
法三:
由平行四边形的性质得:
,∴.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查利用余弦定理解三角形,属于中档题.
19.
(1)见证明;
(2)
(I)设中点为,连接、.设出的边长,通过计算证明,根据已知得到,由此证得平面,从而证得.(II)以为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用平面计算出点的坐标,根据直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.
(Ⅰ)设中点为,连接、.由题意.
∵,∴四边形为平行四边形,又,∴为正方形.
设,在中,,又,.
∵平面,平面,∴.
∵,平面,且,∴平面.
∵平面,∴.
(Ⅱ)因为平面,所以,,又,故,,两两垂直,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由(Ⅰ)所设知,则,,,.
由已知平面,∴,设,则.
,∵,∴,,
∴.
设平面的法向量,则
令,得.
设所求的角为,.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
本小题主要考查线线垂直的证明,考查线面垂直的证明,考查利用空间向量的方法计算直线与平面所成角的正弦值,属于中档题.
20.
(1)
(2)见解析
(I)根据椭圆的离心率和短轴长列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆方程.(