高考数学大一轮复习 第六章 不等式推理与证明课时作业40 理 新人教A版Word下载.docx
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代入a=1,b=2,则有0<
a=1<
=<
=1.5<
b=2.
我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系,其余各式作差(作商)比较即可.选B.
B
3.设a>
0,b>
0.若a+b=1,则+的最小值是( )
A.2B.
C.4D.8
由题意+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.
4.已知a>
0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3B.4
C.5D.6
由题意知:
ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4.
5.已知函数y=x-4+(x>
-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=( )
A.-3B.2
C.3D.8
y=x-4+=x+1+-5,由x>
-1,得x+1>
0,所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.
6.已知直线ax+by+c-1=0(bc>
0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是( )
A.9B.8
C.4D.2
由圆的一般方程x2+y2-2y-5=0知D=0,E=-2,所以,圆心的坐标为(0,1).又因为直线ax+by+c-1=0(bc>
0)经过该圆心,所以a×
0+b×
1+c-1=0,即b+c=1,所以,+=+=4+++1=5++≥5+2=9.
A
二、填空题
7.若正实数a,b满足ab=2,则(1+2a)·
(1+b)的最小值为________.
(1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+2=9.当且仅当2a=b,即a=1,b=2时取等号.
9
8.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.
(am+bn)(bm+an)=ab(m2+n2)+mn(a2+b2)≥2abmn+2(a2+b2)=2(a+b)2=2.当且仅当m=n=时取等号.
2
9.已知不等式·
ln≥0对任意正整数n恒成立,则实数m的取值范围是________.
当≥1,即m≥n时,ln>
0,所以-m≥0,得m≤,即n≤m≤,所以n2≤20.
又因为n∈N*,所以n≤4,故≥5.
所以4≤m≤5;
当0<
1,即0<
m<
n时,有-m≤0,
所以m≥,即n>
m≥,故n2>
20.
又因为n∈N*,所以n≥5,所以4≤m<
5.
综上,实数m的取值范围是[4,5].
[4,5]
三、解答题
10.已知a>
0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)(1+)(1+)≥9.
证明:
(1)∵a+b=1,a>
0,
∴++=++
=2(+)=2(+)
=2(+)+4≥4+4=8
(当且仅当a=b=时,等号成立),
∴++≥8.
(2)∵(1+)(1+)=+++1,
由
(1)知++≥8.
∴(1+)(1+)≥9.
11.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位:
千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
解:
(1)由题意得,行驶时间为小时.
y=×
×
2+14×
=+.x∈[50,100]
(2)由题意得,>
由基本不等式可得,y=+≥2
=26
当且仅当=即x=18∈[50,100]时等号成立.
所以当x为18千米/小时,这次行车的总费用最低,最低费用为26元.
1.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为( )
A.1B.6
C.9D.16
方法1:
因为+=1,所以a+b=ab⇒(a-1)(b-1)=1,所以+≥2=2×
3=6.
方法2:
因为+=1,所以a+b=ab,+==b+9a-10=(b+9a)-10≥16-10=6.
方法3:
因为+=1,所以a-1=,
所以+=(b-1)+≥2=2×
2.若实数a,b,c满足a2+b2+c2=8,则a+b+c的最大值为( )
A.9B.2
C.3D.2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=8+2ab+2ac+2bc.
∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
∴8+2ab+2ac+2bc≤2(a2+b2+c2)+8=24,当且仅当a=b=c时取等号,
∴a+b+c≤2.
D
3.若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是________.
由基本不等式得2a+2b≥2=2×
2,即2a+b≥2×
2,所以2a+b≥4.令t=2a+b,由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b·
2c,所以2c==1+,由t≥4,得1<
≤,即1<
2c≤,所以0<
c≤log2=2-log23,故答案为2-log23.
2-log23
4.设关于x的不等式|x-2|<
a(a∈R)的解集为A,且∈A,-∉A.
(1)∀x∈R,|x-1|+|x-3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值;
(2)若a+b=1,求+的最小值,并指出取得最小值时a的值.
(1)∵∈A,-∉A,
∴<
a,≥a,即<
a≤,
∵|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2,
∴a2+a-2≤0,∴-2≤a≤1,∴<
a≤1.
又a∈N,∴a=1.
(2)∵<
a≤,∴+=+=++≥-+2=.当且仅当即时上式取等号.又∵<
=≤,∴+的最小值是,取最小值时a=.
2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时作业41理新人教A版
1.下列推理过程是类比推理的为( )
A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
由类比推理的概念可知.
2.已知△ABC中,∠A=30°
,∠B=60°
,求证:
b.
∵∠A=30°
,∴∠A<
∠B.
∴a<
b,其中,画线部分是演绎推理的( )
A.大前提B.小前提
C.结论D.三段论
由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为( )
A.Sn=B.Sn=
C.Sn=D.Sn=
Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),∴Sn=Sn-1,S1=a1=1,则S2=,S3==,S4=.∴猜想得Sn=,故选A.
4.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;
类比这个结论可知:
四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r=( )
A.B.
C.D.
设三棱锥的内切球球心为O,那么由V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即:
V=S1r+S2r+S3r+S4r,可得:
r=.
5.我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:
在四面体O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°
,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则下列选项中对于S,S1,S2,S3满足的关系描述正确的为( )
A.S2=S+S+SB.S2=++
C.S=S1+S2+S3D.S=++
如图,作OD⊥BC于D,连接AD,由立体几何知识知,AD⊥BC,从而S2=(BC·
AD)2=BC2·
AD2=BC2·
(OA2+OD2)=(OB2+OC2)·
OA2+BC2·
OD2=(OB·
OA)2+(OC·
OA)2+(BC·
OD)2=S+S+S.
6.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为( )
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
A.105B.106
C.107D.108
由题可知奇数行为奇数列,偶数行为偶数列.2009=2×
1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数为961,前32个奇数行内数的个数为1024,故2009在第32个奇数行内,则i=63,因为第63行第1个数为2×
962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,∴i+j=107.
7.观察下列不等式
1+<
,
1++<
1+++<
……
照此规律,第五个不等式为________.
由前几个不等式可知
1++++…+<
.
所以第五个不等式为1+++++<
1+++++<
8.在平面几何中:
△ABC的内角∠C平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间:
在三棱锥A-BCD中(如图)DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比的结论是________.
由平面中线段的比转化为空间中的面积的比可得=.
=
9.f(n)=1+++…+(n∈N*),计算f(22)>
2,f(23)>
,f(24)>
3,f(25)>
,推测当n≥2时,有________.
因为f(22)>
,f(23)>
,f(25)>
,所以当n≥2时,有f(2n)>
f(2n)>
10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:
(1)三角形两边之和大于第三边;
(2)三角形的面积S=×
底×
高;
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的;
请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论.
由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;
(2)四面体的体积V=×
底面积×
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
11.给出下面的数表序列:
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
写出表4,验证表4各行中的数的平均数按