高考数学大一轮复习 第六章 不等式推理与证明课时作业40 理 新人教A版Word下载.docx

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代入a＝1，b＝2，则有0<

a＝1<

＝<

＝1.5<

b＝2.

我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差（作商）比较即可．选B.

B

3．设a>

0，b>

0.若a＋b＝1，则＋的最小值是（　　）

A．2B.

C．4D．8

由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.

4．已知a>

0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

由题意知：

ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2（a＋b）≥4＝4.

5．已知函数y＝x－4＋（x>

－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（　　）

A．－3B．2

C．3D．8

y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x>

－1，得x＋1>

0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即（x＋1）2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.

6．已知直线ax＋by＋c－1＝0（bc>

0）经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（　　）

A．9B．8

C．4D．2

由圆的一般方程x2＋y2－2y－5＝0知D＝0，E＝－2，所以，圆心的坐标为（0,1）．又因为直线ax＋by＋c－1＝0（bc>

0）经过该圆心，所以a×

0＋b×

1＋c－1＝0，即b＋c＝1，所以，＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2＝9.

A

二、填空题

7．若正实数a，b满足ab＝2，则（1＋2a）·

（1＋b）的最小值为________．

（1＋2a）（1＋b）＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．

9

8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则（am＋bn）（bm＋an）的最小值为________．

（am＋bn）（bm＋an）＝ab（m2＋n2）＋mn（a2＋b2）≥2abmn＋2（a2＋b2）＝2（a＋b）2＝2.当且仅当m＝n＝时取等号．

2

9．已知不等式·

ln≥0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是________．

当≥1，即m≥n时，ln>

0，所以－m≥0，得m≤，即n≤m≤，所以n2≤20.

又因为n∈N*，所以n≤4，故≥5.

所以4≤m≤5；

当0<

1，即0<

m<

n时，有－m≤0，

所以m≥，即n>

m≥，故n2>

20.

又因为n∈N*，所以n≥5，所以4≤m<

5.

综上，实数m的取值范围是[4,5]．

[4,5]

三、解答题

10．已知a>

0，a＋b＝1，求证：

（1）＋＋≥8；

（2）（1＋）（1＋）≥9.

证明：

（1）∵a＋b＝1，a>

0，

∴＋＋＝＋＋

＝2（＋）＝2（＋）

＝2（＋）＋4≥4＋4＝8

（当且仅当a＝b＝时，等号成立），

∴＋＋≥8.

（2）∵（1＋）（1＋）＝＋＋＋1，

由

（1）知＋＋≥8.

∴（1＋）（1＋）≥9.

11．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（50≤x≤100）（单位：

千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2＋）升，司机的工资是每小时14元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

解：

（1）由题意得，行驶时间为小时．

y＝×

×

2＋14×

＝＋.x∈[50,100]

（2）由题意得，>

由基本不等式可得，y＝＋≥2

＝26

当且仅当＝即x＝18∈[50,100]时等号成立．

所以当x为18千米/小时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．

1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为（　　）

A．1B．6

C．9D．16

方法1：

因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒（a－1）（b－1）＝1，所以＋≥2＝2×

3＝6.

方法2：

因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝（b＋9a）－10≥16－10＝6.

方法3：

因为＋＝1，所以a－1＝，

所以＋＝（b－1）＋≥2＝2×

2．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为（　　）

A．9B．2

C．3D．2

（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.

∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，

∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2（a2＋b2＋c2）＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，

∴a＋b＋c≤2.

D

3．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．

由基本不等式得2a＋2b≥2＝2×

2，即2a＋b≥2×

2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·

2c，所以2c＝＝1＋，由t≥4，得1<

≤，即1<

2c≤，所以0<

c≤log2＝2－log23，故答案为2－log23.

2－log23

4．设关于x的不等式|x－2|<

a（a∈R）的解集为A，且∈A，－∉A.

（1）∀x∈R，|x－1|＋|x－3|≥a2＋a恒成立，且a∈N，求a的值；

（2）若a＋b＝1，求＋的最小值，并指出取得最小值时a的值．

（1）∵∈A，－∉A，

∴<

a，≥a，即<

a≤，

∵|x－1|＋|x－3|≥|（x－1）－（x－3）|＝2，

∴a2＋a－2≤0，∴－2≤a≤1，∴<

a≤1.

又a∈N，∴a＝1.

（2）∵<

a≤，∴＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝.当且仅当即时上式取等号．又∵<

＝≤，∴＋的最小值是，取最小值时a＝.

2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时作业41理新人教A版

1．下列推理过程是类比推理的为（　　）

A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5

B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼

C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性

D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数

由类比推理的概念可知．

2．已知△ABC中，∠A＝30°

，∠B＝60°

，求证：

b.

∵∠A＝30°

，∴∠A<

∠B.

∴a<

b，其中，画线部分是演绎推理的（　　）

A．大前提B．小前提

C．结论D．三段论

由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提．

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝1，Sn＝n2an，试归纳猜想出Sn的表达式为（　　）

A．Sn＝B．Sn＝

C．Sn＝D．Sn＝

Sn＝n2an＝n2（Sn－Sn－1），∴Sn＝Sn－1，S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故选A.

4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；

类比这个结论可知：

四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝（　　）

A.B.

C.D.

设三棱锥的内切球球心为O，那么由V＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即：

V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，可得：

r＝.

5．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：

在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°

，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为（　　）

A．S2＝S＋S＋SB．S2＝＋＋

C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝＋＋

如图，作OD⊥BC于D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝（BC·

AD）2＝BC2·

AD2＝BC2·

（OA2＋OD2）＝（OB2＋OC2）·

OA2＋BC2·

OD2＝（OB·

OA）2＋（OC·

OA）2＋（BC·

OD）2＝S＋S＋S.

6．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为（　　）

1

2　4

3　5　7

6　8　10　12

9　11　13　15　17

14　16　18　20　22　24

A．105B．106

C．107D．108

由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列.2009＝2×

1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1024，故2009在第32个奇数行内，则i＝63，因为第63行第1个数为2×

962－1＝1923，2009＝1923＋2（m－1），所以m＝44，即j＝44，∴i＋j＝107.

7．观察下列不等式

1＋<

，

1＋＋<

1＋＋＋<

……

照此规律，第五个不等式为________．

由前几个不等式可知

1＋＋＋＋…＋<

.

所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<

1＋＋＋＋＋<

8．在平面几何中：

△ABC的内角∠C平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：

在三棱锥A－BCD中（如图）DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．

由平面中线段的比转化为空间中的面积的比可得＝.

＝

9．f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），计算f（22）>

2，f（23）>

，f（24）>

3，f（25）>

，推测当n≥2时，有________．

因为f（22）>

，f（23）>

，f（25）>

，所以当n≥2时，有f（2n）>

f（2n）>

10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：

（1）三角形两边之和大于第三边；

（2）三角形的面积S＝×

底×

高；

（3）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；

请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．

由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

（1）四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

（2）四面体的体积V＝×

底面积×

（3）四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.

11．给出下面的数表序列：

其中表n（n＝1,2,3，…）有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．

写出表4，验证表4各行中的数的平均数按