东北师大附中届高三第五次模拟考试数学文科试题Word版含答案Word格式文档下载.docx

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现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．¡

（A）6斤（B）7斤（C）斤（D）斤

（5）在区间上随机取两个数，记为事件的概率，则

（A）（B）（C）（D）

（6）在中，则

（A）（B）（C）（D）

（7）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是

（A）（B）（C）（D）

（8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为

（A）（B）

（C）（D）

（9）执行如图所示的程序框图，如果输入的，

则输出的值的取值范围是

（A）或（B）

（C）或（D）或

（10）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为

（A）（B）（C）（D）

（11）直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是

（A）10（B）9（C）8（D）7

（12）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

（13）若，则．

（14）已知实数满足，则目标函数的最小值为．

（15）棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是．

（16）已知函数，

①当时，有最大值；

②对于任意的，函数是上的增函数；

③对于任意的，函数一定存在最小值；

④对于任意的，都有．

其中正确结论的序号是____．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本题满分12分）

已知数列的前项和，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

（18）（本题满分12分）

长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：

元）.

（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.

（19）（本题满分12分）

如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）求到平面的距离.

（20）（本题满分12分）

已知椭圆的离心率为，点在上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：

为定值．

（21）（本题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：

.

（22）（本题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知曲线C:

为参数）和定点，，是曲线C的左，右焦点.

（Ⅰ）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.

（23）（本题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数（）．

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）若，证明．

数学（文科）试题答案

一、选择题

CBADDABCCABD

二、填空题

13.14.15.16.②③

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）由得

所以当时，

当时，

所以

检验符合

（Ⅱ）由

（1）可知

所以.设数列的前项和为，则

所以数列的前项和为．

18.解：

（Ⅰ）职工月收入在内的概率为；

（Ⅱ）根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是、、、、、，因此，中位数的估计值为；

平均数的估计值为.

综上可知，中位数和平均数的估计值都是.

19.解：

（Ⅰ）由余弦定理得，

∴，∴，∴.

又平面底面，平面底面，底面，

∴平面，

又平面，∴.

（Ⅱ）设到平面的距离为

取中点，连结,∵△是等边三角形，∴.

又平面底面，平面底面，平面，

∴底面，且，

由（Ⅰ）知平面，又平面，∴.

∴，即¡

Á

2×

1×

解得.

20.解：

（Ⅰ）由题可得

所以椭圆程为.

（Ⅱ）设直线

，可得韦达定理：

则,

令直线为且令

得

可得韦达定理：

所以，

所以定值为．

21.解：

（Ⅰ）定义域为.

，令，得.

增

极大值

减

由上图表知：

的单调递增区间为，单调递减区间为.

的极大值为，无极小值.

（Ⅱ），令又

令解得，当x在内变化时，，变化如下表

x

）

+

↗

↘

由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

又

即.

22.解：

（Ⅰ）圆锥曲线化为普通方程，

所以，，则直线的斜率，

于是经过点垂直于直线的直线的斜率，则直线的倾斜角是120°

，所以直线的参数方程是（为参数），即（为参数）．

（Ⅱ）（方法一）直线的斜率，倾斜角是150°

，

设是直线上任一点，则，，

所以直线的极坐标方程：

（方法二）直线的斜率，倾斜角是150°

，，所以直线的直角坐标方程：

，即，化为极坐标方程：

23.解：

（Ⅰ）若，．∴当时，，不合题意；

当时，，由可解得，所以；

当时，，恒成立，所以．

所以不等式的解集为．

（Ⅱ）证明：

若，则