精品试题届高三数学专题讲座 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球文档格式.docx

精品试题届高三数学专题讲座 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球文档格式.docx

《精品试题届高三数学专题讲座 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品试题届高三数学专题讲座 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球文档格式.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，

，，，平面，

，同理：

，，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，，，

，，平面，

，，，，

平面，，

故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，

，即，

正三棱锥外接球的表面积是

（4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（D）

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为

解析：

（4）在中，，

，的外接球直径为，

，，选D

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则

，，，，，，，

（6），，

，

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：

如图5，平面

解题步骤：

第一步：

将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径，连接，则必过球心；

第二步：

为的外心，所以平面，算出小圆的半

径（三角形的外接圆直径算法：

利用正弦定理，得

），；

第三步：

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

；

2．题设：

如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点

确定球心的位置，取的外心，则三点共线；

先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

勾股定理：

，解出

方法二：

小圆直径参与构造大圆。

例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C

A．B．C．D．以上都不对

选C，,,,

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）

易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；

在中，可根据正弦定理，求出

2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）

3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点

4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则

例3

（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为。

（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

（1）由正弦定理或找球心都可得，，

（2）方法一：

找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，

大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，

（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）

A．　B.　C.4　D.

选D，圆锥在以的圆上，

（4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）A

A．B．C．D．

，，

类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

题设：

如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

确定球心的位置，是的外心，则平面；

算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

例4

（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为

设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，

底面积为，，，，

，球的体积为

（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。

，，，，

（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为。

折叠型，法一：

的外接圆半径为，，

；

法二：

（4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为。

，，，，

，

类型五、折叠模型

两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）

先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；

过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；

解，算出，在中，勾股定理：

例5三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为.

，，，

，；

类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）

画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，

补充：

根据墙角模型，，

，，求出，

例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6

（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一

个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点

在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

（1）截面为，面积是；

（2）高，底面外接圆的半径为，直径为，

设底面边长为，则，，，

三棱锥的体积为

（3）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为。

如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，

，，，

（4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为.

同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，，

【55；

对称几何体；

放到长方体中】

（5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为

这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，

，，

类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型

，求三棱锥外接球半径（分析：

取公共的斜边的中点，连接

，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例7

（1）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）

（1），，，选C

（2）在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为．

解析：

（2）的中点是球心，，；

类型八、锥体的内切球问题

如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。

先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；

求，，是侧面的高；

由相似于，建立等式：

，解出

如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径

先现出内切球的截面图，三点共线；

3．题设：

三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径

等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

设内切球的半径为，建立等式：

解出

习题：

1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（）

A.B.C.D.

【A】，

【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】

2．三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于.

，，，，外接球体积

【外心法（加中垂线）找球心；

正弦定理求球小圆半径】

3．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于.

外接圆的半径为，三棱锥的直径为，外接球半径，

或，，外接球体积，

4．三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为.

的外接圆是大圆，，，

5．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为.

6．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为.

是公共的斜边，的中点是球心，球半径为