学年人教B版高中数学必修3教学案第三章几何概型随机数的含义与应用Word文档格式.docx

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（1）含义

随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．

（2）产生

①在函数型计算器上，每次按键都会产生一个0～1之间的随机数．

②Scilab中用rand（　）函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand（　）*（b－a）＋a得到．

1．用随机模拟方法得到的频率（　　）

A．大于概率　　　　　　　B．小于概率

C．等于概率D．是概率的近似值

答案：

D

2．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝.

3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是（　　）

A.B.

C.D.

选D　设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×

42＝16π，由几何概型的计算公式得＝，得S1＝.故选D.

4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．

根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为＝.

与长度有关的几何概型

[典例]　

（1）在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．

（2）某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率．

[解析]　

（1）∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.

（2）解：

设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．

记“等车时间超过10min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上（不含端点）时，事件A发生．

∴P（A）＝＝＝，

即该乘客等车时间超过10min的概率是.

1．解几何概型概率问题的一般步骤

（1）选择适当的观察角度（一定要注意观察角度的等可能性）；

（2）把基本事件转化为与之对应的区域D；

（3）把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；

（4）利用概率公式计算．

2．与长度有关的几何概型问题的计算公式

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：

P（A）＝.　　

[活学活用]

一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

（1）红灯亮；

（2）黄灯亮；

（3）不是红灯亮．

解：

在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．

（1）P＝＝＝.

（2）P＝＝＝.

（3）法一：

P＝＝＝＝.

法二：

P＝1－P（红灯亮）＝1－＝.

与面积和体积有关的几何概型

[典例]　

（1）（福建高考）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1,0），且点C与点D在函数f（x）＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

（2）有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

[解析]　

（1）依题意得，点C的坐标为（1,2），所以点D的坐标为（－2,2），所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×

2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×

3×

1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.

（2）先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×

12×

2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×

π×

13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：

＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：

1－＝.

[答案]　

（1）B　

（2）

1．与面积有关的几何概型的概率公式

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

P（A）＝.

2．与体积有关的几何概型概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为

P（A）＝.　　　　

1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（　　）

选D　由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.

2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）

C.D.

选B　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P（A）＝＝＝.

随机模拟法的应用

[典例]　利用随机模拟法计算图中阴影部分（曲线y＝2x与x轴、x＝±

1围成的部分）的面积．

[解]　设事件A＝“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．

S1　用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次（x，y）满足－1<

x<

1,0<

y<

2x（即点落在阴影部分）．首先置n＝0，m＝0；

S2　用变换rand（）*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；

用变换rand（）*2产生0～2之间均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；

S3　判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<

2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；

S4　表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．

程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．

设阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P（A）＝.所以＝.所以S＝.即为阴影部分面积的近似值．

利用随机模拟法估计图形面积的步骤

（1）把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形（长方形或圆等）内的一部分，并用阴影表示；

（2）利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P（A）＝；

（3）设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，则已知图形面积的近似值为S′.　　　　

取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1cm的概率有多大？

设事件A＝“剪得两段的长都不小于1cm”．

S1　用记数器n记录做了多少次试验，用记数器m记录其中有多少个数出现在1～2之间（即得两段的长都不小于1cm），首先置n＝0，m＝0；

S2　用变换rand（　）*3，产生0～3之间的均匀随机数x；

S3　判断剪得两段是否长度都大于1cm，即是否满足1≤x≤2，若是，则记数器m的值增加1，即m＝m＋1，若不是，m的值不变；

S4　表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1；

如果还需试验，则返回S2，继续执行，否则程序结束．

[层级一　学业水平达标]

1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为（　　）

A.　　　　　　　　　B.

选C　试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的＝，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为，故选C.

2.如图所示，在一个边长为a，b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为（　　）

选C　S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab.

故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.

3．已知函数f（x）＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f（x0）≥0的概率为________．

欲使f（x）＝log2x≥0，

则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，

从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.

4．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC<

VSABC的概率是________．

由VPABC<

VSABC知，P点在三棱锥SABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－＝1－＝.

[层级二　应试能力达标]

1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（　　）

选A　试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P（A）＝.

2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　）

选C　△ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为.

3.如图所示，一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°

），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（　　）

C.D．1－

选D　S扇形＝×

22＝π，

S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×

2×

2＝π－2，

∴P＝＝1－.

4．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对（x，y），记事件A为“x2＋y2＜1”，则P（A）为（　　）

C．πD．2π

选A　如图，集合S＝{（x，y）|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件（x，y）与圆x2＋y2＝1内的点一一对应，所以P（A）＝.

5．方程x2＋x＋n＝0（n∈（0,1））有实根的概率为________．

由于方程x2＋x＋n＝0（n∈（0,1））有实根，

∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，

又n∈（0,1），∴有实根的概率为P＝＝.

6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．

大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，

则P（A）＝＝0.005.

0.005

7．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小