课堂新坐标高中数学人教版选修21练习章末综合测评3Word下载.docx
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【答案】 B
4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,若=a+2b+3c,则abc的值等于( )【导学号:
18490123】
A.B.
C.D.-
【解析】 ∵=+-=a+2b+3c,∴a=1,b=,c=-.∴abc=-.
5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论不正确的是( )
A.=-B.·
=0
C.·
=0D.·
【解析】 如图,∥,⊥,⊥B1D1,故A,B,C选项均正确.
6.已知向量a,b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则“c·
a=0,且c·
b=0”是l⊥α的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 若l⊥α,则l垂直于α内的所有直线,从而有c·
a=0,c·
b=0.反之,由于a,b是否共线没有确定,若共线,则结论不成立;
若不共线,则结论成立.
7.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】 设BC的中点为D,则D(2,1,4),
∴=(-1,-2,2),
∴||==3,即BC边上的中线长为3.
8.若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为,则x=( )
A.3B.-3
C.-11D.3或-11
【解析】 因为a·
b=(x,4,5)·
(1,-2,2)=x-8+10=x+2,且a与b的夹角的余弦值为,所以=,解得x=3或-11(舍去),故选A.
【答案】 A
9.如图1,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )
图1
【解析】 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴=(-2,0,1),=(-2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量.
∴cos〈,〉===.
∴sin〈1,〉=|cos〈1,〉|=,
∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
【解析】 以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,所以有令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==.
11.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,若点F是侧面CD1的中心,且=+m-n,则m,n的值分别为( )
A.,-B.-,-
C.-,D.,
【解析】 由于=+=+(+)=++,所以m=,n=-,故选A.
12.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PA=,那么二面角ABDP的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【解析】 如图所示,建立空间直角坐标系,
则=,
=(-3,4,0).
设n=(x,y,z)为平面PBD的一个法向量,则
得
即令x=1,则n=.
又n1=为平面ABCD的一个法向量,
∴cos〈n1,n〉==.∴所求二面角为30°
.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a与b为共线向量,则x=________,y=________.【导学号:
18490124】
【解析】 由题意得==,∴x=,y=-.
【答案】 -
14.△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,),B,C(-1,0,),则角A的大小为________.
【解析】 =,=(-1,0,0),则cosA===,故角A的大小为30°
【答案】 30°
15.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,3),B(2,1,-1),若直线AB交平面xOz于点C,则点C的坐标为________.
【解析】 设点C的坐标为(x,0,z),则=(x-1,2,z-3),=(1,3,-4),因为与共线,所以==,解得所以点C的坐标为.
【答案】
16.如图2,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.
图2
给出以下结论:
①+++=0;
②+--=0;
③-+-=0;
④·
=·
;
⑤·
=0,其中正确结论的序号是________.
【解析】 容易推出:
-+-=+=0,所以③正确;
又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以·
=2×
2cos∠ASB,·
2cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是·
,因此④正确;
其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④.
【答案】 ③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.如图3,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
图3
(1)证明:
平面PQC⊥平面DCQ;
(2)证明:
PC∥平面BAQ.
【证明】 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),所以·
=0,·
=0,
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC且DQ∩DC=D.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)根据题意,=(1,0,0),=(0,0,1),=(0,1,0),故有·
=0,所以为平面BAQ的一个法向量.
又因为=(0,-2,1),且·
=0,即DA⊥PC,且PC⊄平面BAQ,故有PC∥平面BAQ.
18.(本题满分12分)如图4,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°
,AB=BC=1,AA1=,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
图4
【解】 因为=+
=+,=-,
且·
所以·
=(+)·
(-)
-2+·
-·
=-1.
又||=,||==,
所以cos〈,〉=
==-,
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
19.(本小题满分12分)如图5,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
图5
(1)求证:
平面PBC⊥平面PAC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.
【解】
(1)证明:
由AB是圆的直径,得AC⊥BC,
由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PBC.
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.
如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=.
又因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).
故=(,0,0),=(0,1,1).
设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则所以
不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).
因为=(0,0,1),=(,-1,0),
设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),
不妨令x2=1,则n2=(1,,0).
于是cos〈n1,n2〉==.
由图知二面角CPBA为锐角,故二面角CPBA的余弦值为.
20.(本小题满分12分)如图6,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD.
图6
平面PED⊥平面PAC;
【导学号:
18490125】
(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为,求二面角APCD的余弦值.
【解】
(1)∵平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA,
∴PA⊥平面ABCD,
又∵AB⊥AD,故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,
不妨设BC=4,AP=λ(λ>
0),
则有D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),
∴=(2,4,0),=(0,0,λ),=(2,-1,0),
∴·
=4-4+0=0,·
∴DE⊥AC,DE⊥AP且AC∩AP=A,
∴DE⊥平面PAC.
又DE⊂平面PED,
∴平面PED⊥平面PAC.
(2)由
(1)知,平面PAC的一个法向量是=(2,-1,0),=(2,1,-λ),
设直线PE与平面PAC所成的角为θ,
∴sinθ=|cos〈,〉|==,解得λ=±
2.
∵λ>
0,∴λ=2,即P(0,0,2),
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),=(2,2,0),=(0,-2,2),
由n⊥,n⊥,
∴不妨令x=1,则n=(1,-1,-1).
∴cos〈n,〉==,
显然二面角APCD的平面角是锐角,
∴二面角APCD的余弦值为.
21.(本小题满分12分)如图7,四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
图7
BE∥平面PAD;
(2)若BE⊥平面PCD,
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
②求二面角EBDC的余弦值.
【解】 设AB=a,PA=b,建立如图的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),P(0,0,b),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),E.
(1)=,=(0,2a,0),=(0,0,b),所以=+,
因为BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(2)因为BE⊥平面PCD,所以BE⊥PC,
即·
=0,=(2a,2a,-b),
=2a2-=0,则b=