课堂新坐标高中数学人教版选修21练习章末综合测评3Word下载.docx

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【答案】　B

4．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，则abc的值等于（　　）【导学号：

18490123】

A.B.

C.D．－

【解析】　∵＝＋－＝a＋2b＋3c，∴a＝1，b＝，c＝－.∴abc＝－.

5．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的是（　　）

A.＝－B.·

＝0

C.·

＝0D.·

【解析】　如图，∥，⊥，⊥B1D1，故A，B，C选项均正确．

6．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·

a＝0，且c·

b＝0”是l⊥α的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·

a＝0，c·

b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；

若不共线，则结论成立．

7．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（　　）

A．2　　B．3

C．4　　　D．5

【解析】　设BC的中点为D，则D（2，1，4），

∴＝（－1，－2，2），

∴||＝＝3，即BC边上的中线长为3.

8．若向量a＝（x，4，5），b＝（1，－2，2），且a与b的夹角的余弦值为，则x＝（　　）

A．3B．－3

C．－11D．3或－11

【解析】　因为a·

b＝（x，4，5）·

（1，－2，2）＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为，所以＝，解得x＝3或－11（舍去），故选A.

【答案】　A

9.如图1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（　　）

图1

【解析】　以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），

∴＝（－2，0，1），＝（－2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴sin〈1，〉＝|cos〈1，〉|＝，

∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.

10．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）

【解析】　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），则＝（0，1，0），＝（1，1，0），＝（0，1，2）．设平面BDC1的法向量为n＝（x，y，z），则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝（2，－2，1）．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.

11．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为（　　）

A.，－B．－，－

C．－，D.，

【解析】　由于＝＋＝＋（＋）＝＋＋，所以m＝，n＝－，故选A.

12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角ABDP的大小为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

【解析】　如图所示，建立空间直角坐标系，

则＝，

＝（－3，4，0）．

设n＝（x，y，z）为平面PBD的一个法向量，则

得

即令x＝1，则n＝.

又n1＝为平面ABCD的一个法向量，

∴cos〈n1，n〉＝＝.∴所求二面角为30°

.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．若a＝（2x，1，3），b＝（1，－2y，9），且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.【导学号：

18490124】

【解析】　由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.

【答案】　　－

14．△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，0，），B，C（－1，0,），则角A的大小为________．

【解析】　＝，＝（－1，0，0），则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°

【答案】　30°

15．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，－2，3），B（2，1，－1），若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________．

【解析】　设点C的坐标为（x，0，z），则＝（x－1，2，z－3），＝（1，3，－4），因为与共线，所以＝＝，解得所以点C的坐标为.

【答案】　

16.如图2，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.

图2

给出以下结论：

①＋＋＋＝0；

②＋－－＝0；

③－＋－＝0；

④·

＝·

；

⑤·

＝0，其中正确结论的序号是________．

【解析】　容易推出：

－＋－＝＋＝0，所以③正确；

又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·

＝2×

2cos∠ASB，·

2cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·

，因此④正确；

其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.

【答案】　③④

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．如图3，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

图3

（1）证明：

平面PQC⊥平面DCQ；

（2）证明：

PC∥平面BAQ.

【证明】　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），则＝（1，1，0），＝（0，0，1），＝（1，－1，0），所以·

＝0，·

＝0，

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D.

故PQ⊥平面DCQ.

又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

（2）根据题意，＝（1，0，0），＝（0，0，1），＝（0，1，0），故有·

＝0，所以为平面BAQ的一个法向量．

又因为＝（0，－2，1），且·

＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.

18.（本题满分12分）如图4，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°

，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．

图4

【解】　因为＝＋

＝＋，＝－，

且·

所以·

＝（＋）·

（－）

－2＋·

－·

＝－1.

又||＝，||＝＝，

所以cos〈，〉＝

＝＝－，

则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.

19.（本小题满分12分）如图5，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

图5

（1）求证：

平面PBC⊥平面PAC；

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．

【解】　

（1）证明：

由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊂平面PBC.

所以平面PBC⊥平面PAC.

（2）过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

又因为PA＝1，所以A（0，1，0），B（，0，0），P（0，1，1）．

故＝（，0，0），＝（0，1，1）．

设平面BCP的法向量为n1＝（x1，y1，z1），

则所以

不妨令y1＝1，则n1＝（0，1，－1）．

因为＝（0，0，1），＝（，－1，0），

设平面ABP的法向量为n2＝（x2，y2，z2），

不妨令x2＝1，则n2＝（1,，0）．

于是cos〈n1，n2〉＝＝.

由图知二面角CPBA为锐角，故二面角CPBA的余弦值为.

20.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.

图6

平面PED⊥平面PAC;

【导学号：

18490125】

（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角APCD的余弦值．

【解】　

（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，

∴PA⊥平面ABCD，

又∵AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，

不妨设BC＝4，AP＝λ（λ>

0），

则有D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），

∴＝（2，4，0），＝（0，0，λ），＝（2，－1，0），

∴·

＝4－4＋0＝0，·

∴DE⊥AC，DE⊥AP且AC∩AP＝A，

∴DE⊥平面PAC.

又DE⊂平面PED，

∴平面PED⊥平面PAC.

（2）由

（1）知，平面PAC的一个法向量是＝（2，－1，0），＝（2，1，－λ），

设直线PE与平面PAC所成的角为θ，

∴sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，解得λ＝±

2.

∵λ>

0，∴λ＝2，即P（0，0，2），

设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），＝（2，2，0），＝（0，－2，2），

由n⊥，n⊥，

∴不妨令x＝1，则n＝（1，－1，－1）．

∴cos〈n，〉＝＝，

显然二面角APCD的平面角是锐角，

∴二面角APCD的余弦值为.

21.（本小题满分12分）如图7，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

图7

BE∥平面PAD；

（2）若BE⊥平面PCD，

①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；

②求二面角EBDC的余弦值．

【解】　设AB＝a，PA＝b，建立如图的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E.

（1）＝，＝（0，2a，0），＝（0，0，b），所以＝＋，

因为BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.

（2）因为BE⊥平面PCD，所以BE⊥PC，

即·

＝0，＝（2a，2a，－b），

＝2a2－＝0，则b＝