Matlab求解非线性超定方程组恰定方程组欠定方程组Word下载.docx
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0]
X=zeros（4,1）;
%建立一个4元列向量
X=linsolve（A,B）
diff（fun，var，n）：
对表达式fun中的变量var求n阶导数。
例如：
F=sym（'
u（x,y）*v（x,y）'
）;
%sym（）用来定义一个符号表达式
diff（F）;
%matlab区分大小写
pretty（ans）%pretty（）：
用习惯书写方式显示变量；
ans是答案表达式
非线性方程求解
fsolve（fun,x0,options）
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
建立文件fun.m：
functiony=fun（x）
y=[x
（1）-0.5*sin（x
（1））-0.3*cos（x
（2））,...
x
（2）-0.5*cos（x
（1））+0.3*sin（x
（2））];
>
x0=[0.1,0.1];
fsolve（@fun,x0,optimset（'
fsolve'
））
注：
...为续行符
m文件必须以function为文件头，调用符为@；
文件名必须与定义的函数名相同；
fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。
如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×
n，则有：
m＝n恰定方程，求解精确解；
m>
n超定方程，寻求最小二乘解；
m<
n不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
一．恰定方程组
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer公式来求解法；
（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian消去法；
（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。
前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。
MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：
x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；
若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；
如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；
如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；
如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：
在求解方程时，尽量不要用inv（A）*b命令，而应采用A\b的解法。
因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。
另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。
二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×
m矩阵，如果A列满秩，且n>
m。
则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。
线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。
对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；
还可以用广义逆来求，即x=pinv（A）,所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。
左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；
广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2-13;
31-5;
4-11;
13-13]
A=
2-13
31-5
4-11
13-13
b＝[303-6]’;
rank（A）
ans=
3
x1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
x2=pinv（A）*b
x2=
A*x1-b
1.0e-014
-0.0888
-0.1332
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv（A）*b所得的解与x1相同。
三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。
MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。
特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
A＝[1-211;
1-21-1;
1-215]
1-211
1-21-1
1-215
b=[1-15]’
Warning:
Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015
-0.0000
0.0000
四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。
虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。
在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。
在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls（A,b）返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x的条件下；
（2）X=nnls（A,b,TOL）指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max（size（A））*norm（A,1）*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls（A,b）当x（i）=0时，w（i）<
0；
当下x（i）>
0时，w（i）0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336-0.52380.6710
-0.52383.2833-0.7302
0.6710-0.73024.0261];
b=[-1.0001.50002.5000];
[X,W]=nnls（A,b）
X=
0.6563
0.6998
W=
-3.6820
-0.3569
0.5744
0.7846
A*X-b
1.1258
0.1437
-0.1616
1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
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关于采用matlab进行指定非线性方程拟合的问题
（1）
※1。
优化工具箱的利用
函数
描述
LSQLIN
有约束线性最小二乘优化
LSQNONNEG
非负约束线性最小二乘优化问题
当有约束问题存在的时候，应该采用上面的方法代替Polyfit与反斜线（\）。
具体例子请参阅优化工具箱文档中的相应利用这两个函数的例子。
d.
非线性曲线拟合
利用MATLAB的内建函数
函数名
FMINBND
只解决单变量固定区域的最小值问题
FMINSEARCH多变量无约束非线性最小化问题（Nelder-Mead方法）。
下面给出一个小例子展示一下如何利用FMINSEARCH
1．首先生成数据
t=0:
.1:
10;
t=t（:
Data=40*exp（-.5*t）+rand（size（t））;
%将数据加上随机噪声
2．写一个m文件，以曲线参数作为输入，以拟合误差作为输出
functionsse=myfit（params,Input,Actural_Output）
A=params
（1）;
lamda=params
（2）;
Fitted_Curve=A.*exp（-lamda*Input）;
Error_Vector=Fitted_Curve-Actural_Output;
%当曲线拟合的时候，一个典型的质量评价标准就是误差平方和
sse=sum（Error_Vector.^2）;
%当然，也可以将sse写作：
sse=Error_Vector（:
）*Error_Vector（:
3．调用FMINSEARCH
Strarting=rand（1,2）;
options=optimset（'
Display'
'
iter'
Estimates=fiminsearch（@myfit,Strarting,options,t,Data）;
plot（t,Data,'
*'
holdon
plot（t,Estimates
（1）*exp（-Estimates
（2）*t）,'
r'
Estimates将是一个包含了对原数据集进行估计的参数值的向量。
附图见后面：
FMINSEARCH通常能够用来解决不连续情况，特别是如果他们不出现在解的附近的时候。
它得到的通常也是局部解。
FMINSEARCH只能够最小化实数值（也就是说，解的域必须只能包括实数，函数的输出只能够为实数值）。
当感兴趣的是复数变量的域的时候，他们必须被分割为实部与虚部。
※2.MATLAB的FIGURE窗口：
最基本的拟合界面与数据统计工具
MATLAB通过基本的拟合界面也支持基本曲线拟合。
利用这个界面，你可以快速地在简单易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。
这个界面可以实现以下功能：
a．通过比样条插值（splineinterpolant）、hermite插值、或者是高达10阶的多项式插值实现数据的拟合；
b．对给定数据同时实现多样插值的绘制；
c．绘制残差图；
d．检查拟合结果的残差的数值；
e．通过内插值或者外推插值评价一个拟合结果；
f．对拟合结果和残差的模进行图形绘制；
g．将拟合结果保存入MATLAB工作空间。
开发你的拟合应用的时候，你
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