二次曲线的方程化简、作图及分类-教学与应用数学本科毕业论文.doc
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本科毕业论文
题目：
二次曲线的方程化简、作图及分类
学院：
数学与计算机科学学院
班级：
数学与应用数学2007级5班
姓名：
曹振佐
指导教师：
李秀兰职称：
教授
完成日期：
2011年5月18日
二次曲线的方程化简、作图及分类
摘要:
本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷.特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了.
关键词:
坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换
目录
1引言 1
2预备知识 1
3二次曲线的方程的化简 2
3.1用坐标变换化简二次曲线 2
3.1.1化简缺少项的二次曲线 2
3.1.1.1利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线 2
3.1.1.2利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线 3
3.1.2利用转轴化简含有项的二次曲线 3
3.1.3一般二次曲线方程的化简 4
3.1.3.1中心曲线的化简 4
3.1.3.2非中心二次曲线的化简 5
3.2通过主直径,主方向化简二次曲线 5
3.2.1中心曲线的化简 6
3.2.2无心曲线的化简 6
3.2.3线心曲线的化简 7
3.3用不变量、半不变量化简二次曲线 8
3.3.1中心曲线的化简 8
3.3.2无心曲线的化简 8
3.3.3线心曲线的化简 9
3.4正交变换化简二次曲线 9
3.5合同变换法化简有心二次曲线 10
4二次曲线的方程的作图 12
4.1中心二次曲线的作图方法 12
4.2无心二次曲线的作图方法 13
4.3线心二次曲线的作图方法 15
5二次曲线的方程分类 16
5.1二次曲线的分类 16
参考文献 17
1引言
我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图.
平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量以及完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.
2预备知识
在平面直角坐标系上,由二元一次方程
所表示的曲线,叫做二次曲线.
我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图.
为了方便起见,我们引进下面一些记号:
这样我们容易验证,下面的恒等式成立
式也就可以写成
.
我们把的系数所排成的矩阵
叫做二次曲线的矩阵.
的系数所排成的矩阵
叫做的矩阵.
显然二次曲线的矩阵的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是的系数.
下面我们引用加个符号
,,.
这里的是矩阵的主对角元素的和,是矩阵的行列式,是矩阵的行列式.
3二次曲线的方程的化简
3.1用坐标变换化简二次曲线
3.1.1化简缺少项的二次曲线
3.1.1.1利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线
方法将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心的坐标由中心方程组给出.
这样将变换公式代入原方程,即可化简原二次曲线.
例1化简二次曲线方程
.
解二次曲线的系数矩阵.
因为,所以此曲线是中心二次曲线.
由中心方程组得
解.
可得变换公式
代入原方程,整理得.（椭圆）
3.1.1.2利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线
例2化简二次曲线方程
.
解将方程的左端配方,得:
.
令
可得变换公式
于是方程化为.（椭圆）
3.1.2利用转轴化简含有项的二次曲线
方法转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式
给出.
然后将变换公式代入原方程.
例3化简二次曲线方程
.
解这里.
由得,
所以转轴公式为
代入原方程,整理得.（抛物线）
3.1.3一般二次曲线方程的化简
3.1.3.1中心曲线的化简
方法一般采用先移轴后转轴较为简便.
例4化简二次曲线方程
.
解因为即此曲线为中心曲线.
先移轴,由中心方程组得
解得
故移轴公式为
代入原方程,整理得.
对方程进行转轴.
即.
故转轴公式为代入方程
整理得最简方程为.（双曲线）
3.1.3.2非中心二次曲线的化简
方法一般采用先转轴后移轴进行化简
例5化简二次曲线方程
.
解因为,所以此曲线是非中心曲线.
先进行转轴,即.
故转轴公式为
代入原方程,得.
对进行移轴（实质配方）,得:
.
令则变换公式为
则原方程化简为.（抛物线）
3.2通过主直径,主方向化简二次曲线
方法一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含项.
3.2.1中心曲线的化简
方法取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.
例6化简二次曲线方程
.
解因为,,
所以此曲线是中心曲线.其特征方程为
因此两特征根为
.
由,分别对应的两个主方向为,.
由两主方向决定的主直径分别为和取二主直径为新坐标系轴,得
解得
代入原方程,化简得.（双曲线）
3.2.2无心曲线的化简
方法取它的唯一的一个主直径为轴,过顶点垂直于主直径的直线为轴建立坐标系（顶点为坐标原点）
例7化简二次曲线方程
.
解这里.
因为,所以此曲线是无心曲线.
因为.其特征方程为
因此两特征根为
.
对应于的非渐近主方向为.
取主直径为为新坐标系轴,主直径与曲线的交点即顶点为
过顶点且以非渐近主方向为方向的直线方程为即.
则变换公式为
解得
代入原方程,整理得.（抛物线）
3.2.3线心曲线的化简
方法取它的中心直线为轴,任取垂直它的直线为轴,建立坐标系.
例8化简二次曲线方程
.
解因为所以此曲线是线心曲线.
唯一的主直径为.
取主直径为新系的轴,取任一垂直它的直线如为轴,这时变换公式为
解得
代入原方程,得.（两条平行直线）
3.3用不变量、半不变量化简二次曲线
3.3.1中心曲线的化简
方法用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为
例9化简二次曲线方程
.
解特征方程为
.
因此两特征根为
可知最简形式为.
即.（椭圆）
3.3.2无心曲线的化简
方法用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为.
例10化简二次曲线方程
.
解因为.
它的最简形式为.
即.（抛物线）
3.3.3线心曲线的化简
方法用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为:
例11化简二次曲线方程
.
解这里即此曲线是线心曲线.
.
所以它的最简形式为:
.
即.（两条平行的直线）
3.4正交变换化简二次曲线
方法任意实二次型
都可以用正交变换化为平方和.
这里是的全部特征根.
例12化简二次曲线方程
.
解上式中所有二次项构成实二次型
.它的系数矩阵.
特征矩阵
.
即的特征根为.
当时,的特征向量分别为单位化得.
以为列向量,作正交矩阵
正交变换为
代入原方程,得.
配方得.
令
则坐标交换为
得标准方程为.（双曲线）
3.5合同变换法化简有心二次曲线
方法对矩阵A作合同变换,即.
所作变换为
这样式就化简成
例13化简二次曲线方程
.
解系数矩阵
.
因为
所以此曲线为中心曲线.
.
这样经变换
使原方程化为.（双曲线）
检验把变换
代入原方程,并整理得
.
经检验,此方法对中心曲线是成立的.
4二次曲线的方程的作图
4.1中心二次曲线的作图方法
对中心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为
.
其中是曲线的两特征根,且轴分别沿和对应的主方向.因此轴关于原坐标系中轴的倾角满足.
可见要从中心二次曲线的简化方程作出其图形,只需以过的中心且与原坐标系中轴的倾角为直线作为轴,建立直角坐标系,然后在该坐标系下作出所表示的曲线即可.
例14求二次曲线的简化方程,并作出其图形.
解因为不变量.
所以解特征方程.
即得曲线的两特征根且由.
得曲线的简化方程为.
即（椭圆）
另外通过解中心方程组
可得曲线的中心.
过作与轴的倾角的直线,并以此作为轴建立直角坐标系,且在该坐标系下作出方程（椭圆）所表示的曲线,如图1所示.
图1椭圆：
4.2无心二次曲线的作图方法
对无心二次曲线,由于同号,不妨设它们均非负.利用不变量可将其简化方程为
其中号可任选,这里不妨取-号,即简化方程为
不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴（主直径）,原点是曲线的顶点（主直径与曲线的交点）.对任意点,若设其在旧、新坐标系的坐标为和,则数与至多差一个正数倍,所以若主直径上某一点或的坐标使或则向量便指向轴的正向因轴正向上的点使为负,否则,便指向轴的负向.可见要从简化方程画出无心二次曲线的图形,只需先求出曲线的主直径和顶点,并选取主直径上一点或若或,则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系;若或则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系,并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可.
例15求二次曲线的简化方程,并作出其图形.
解对所给二次曲线由于.
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