届高考数学二轮 圆锥曲线的定义方程几何性质2专题卷全国通用文档格式.docx

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C.D.

A　[不妨设渐近线为bx＋ay＝0.

由题意得圆心到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝＝2，

∴b2＝a2，∴c2＝a2，

∴e＝＝，故选A.]

3．（2017·

武汉一模）已知点A（－1,0），B（1,0）为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°

，则该双曲线的标准方程为（　　）

A．x2－＝1B．x2－＝1

C．x2－＝1D．x2－y2＝1

D　[由题意知a＝1，不妨设点M在第一象限，

则|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°

，过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M（2，）代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1.

所以双曲线方程为x2－y2＝1，故选D.]

4．（2017·

九江模拟）椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为（　　）

D　[设P（x，y），则|OP|2＝x2＋y2＝，

由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，

又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，

∴|PF1|·

|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，

则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，

∴（x＋c）2＋y2＋（x－c）2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，

即＋5c2＝2a2，整理得＝，

∴椭圆的离心率e＝＝.故选D.]

5．（2016·

唐山二模）椭圆y2＋＝1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（　　）

B　[当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°

，所以∠F2PO≥45°

（O是原点），从而≥，即1－m2≥，又0＜m＜1，所以0＜m≤.]

二、填空题

6．（2017·

全国卷Ⅲ）双曲线－＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.

5　[∵双曲线的标准方程为－＝1（a>

0），

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

x.

又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]

7．（2017·

青岛模拟）已知抛物线C：

y2＝8x，O为坐标原点，直线x＝m与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的重心为抛物线C的焦点F，则|AF|＝________.

5　[因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为F（2,0），又因为点F为△OAB的重心，所以m＝3，即点A的横坐标xA＝3，所以|AF|＝xA＋＝3＋2＝5.]

8．如图121，F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．

04024112】

图121

　[因为△ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|－|BF1|＝2a，从而|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°

得∠F1BF2＝120°

，在△F1BF2中应用余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·

2a·

4a·

cos120°

，整理得c2＝7a2，则e2＝7，从而e＝.]

三、解答题

9．（2017·

唐山一模）在△ABC中，A（－1,0），B（1,0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（G，H不重合）．

（1）求动点C的轨迹方程；

（2）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．

[解]

（1）由题意可设C（x，y），则G，H，＝，＝（x＋1，y）．2分

因为H为垂心，所以·

＝x2－1＋＝0，整理可得x2＋＝1，

即动点C的轨迹方程为x2＋＝1（x·

y≠0）．4分

（2）显然直线AC的斜率存在，设AC的方程为y＝k（x＋1），C（x0，y0）．

将y＝k（x＋1）代入x2＋＝1得（3＋k2）x2＋2k2x＋k2－3＝0，6分

解得x0＝，y0＝，则H．8分

原点O到直线AC的距离d＝，

依题意可得＝，10分

即7k4＋2k2－9＝0，解得k2＝1，即k＝1或－1，

故所求直线AC的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．12分

10．已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

04024113】

[解]

（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，2分

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.

故椭圆C的离心率e＝＝.5分

（2）设点A，B的坐标分别为（t,2），（x0，y0），其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·

＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.7分

又x＋2y＝4，所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝2＋（y0－2）2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4（0＜x≤4）.9分

因为＋≥4（0<

x≤4），且当x＝4时等号成立，

所以|AB|2≥8.

故线段AB长度的最小值为2．12分

[B组　名校冲刺]

1．（2016·

唐山二模）已知点A是抛物线C：

x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0,8）为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（　　）

A.　　　B．2

C.6　　　D．

D　[由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×

4，解得p＝.]

青岛二模）已知a＞0，b＞0，双曲线C1：

－＝1，圆C2：

x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的渐近线与圆C2相切，则双曲线C1的离心率是（　　）

C．2D.

A　[由题意得圆C2的标准方程为（x－a）2＋y2＝，所以圆心C2（a,0），半径r＝，双曲线C1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆C2相切，所以＝，解得a2＝3b2，所以双曲线的离心率e＝＝＝，故选A.]

石家庄一模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为（　　）

C．3D．2

D　[把点A代入抛物线方程，得2＝2p×

，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B.设M，则＝，＝.由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1（舍去），故选D.]

上饶一模）设F1，F2为椭圆C1：

＋＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：

－＝1（a2＞0，b2＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°

，若椭圆的离心率e1＝，则双曲线C2的离心率e2为（　　）

B　[设|F1M|＝m，|F2M|＝n，m＞n，

则m＋n＝2a1，m－n＝2a2，m2＋n2＝4c2，

可得a＋a＝2c2，

可得＋＝2，又e1＝，

所以e2＝.故选B.]

5．（2017·

石家庄一模）已知圆C1：

x2＋（y－2）2＝4，抛物线C2：

y2＝2px（p＞0），C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为________．

y2＝x　[由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx（易知k＞0），圆心C1（0,2）到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，由得或把代入抛物线方程，得2＝2p·

，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x.]

6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．

　[设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，

∵|AF|＝3，∴点A到准线l：

x＝－1的距离为3，

∴2＋3cosθ＝3，即cosθ＝，则sinθ＝.

∵m＝2＋mcos（π－θ），∴m＝＝，

∴△AOB的面积为S＝×

|OF|×

|AB|×

sinθ＝×

1×

×

＝.]

7．如图122，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.

图122

（2）若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．

04024114】

[解]

（1）由已知|AB|＝|BF|，即＝a，2分

4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4（a2－c2）＝5a2，

∴e＝＝．4分

（2）由

（1）知a2＝4b2，∴椭圆C：

＋＝1.设P（x1，y1），Q（x2，y2），由＋＝1，＋＝1，

可得＋＝0，

即＋＝0，

即＋（y1－y2）＝0，从而kPQ＝＝2，6分

∴直线l的方程为y－＝2，即2x－y＋2＝0．8分

由⇒x2＋4（2x＋2）2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0，9分

Δ＝322＋16×

17（b2－4）＞0⇔b＞，x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵OP⊥OQ，∴·

＝0，即x1x2＋y1y2＝0，

x1x2＋（2x1＋2）（2x2＋2）＝0,5x1x2＋4（x1＋x2）＋4＝0，11分

从而－＋4＝0，解得b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1．12分

8．（2016·

全国卷Ⅲ）已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：

AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

[解]　由题意知F.设l1：

y＝a，l2：

y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.

记过A，B两点的直线为l，

则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0．2分

（1）由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1＝＝＝＝＝－b＝k2.

所以AR∥FQ．4分

（2）设l与x轴的交点为D（x1,0），

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝．6分

由题设可得2×

|b－a|＝，8分

所以x1＝0（舍去）或x1＝1.

设满足条件的AB的中点为E（x，y）．

当AB与x轴不垂直时，9分

由kAB＝kDE可得＝（x≠1）．

而＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．10分

当AB与x轴垂直时，E与D（1,0）重合.1